«Элементарное введение
в математический анализ»
«Элементарное
введение в математический анализ»
Хоть деление математического знания на алгебру, геометрию и математический анализ и является очень условным, все-таки существует некоторый признак,
по которому математический анализ выделяется
из остальной математики.
Начать можно с вопроса: что же здесь анализируется?
Если совсем коротко, то ответ будет такой: функции. Только не все подряд, а определенного вида.
Поэтому прежде, чем делать дальнейшее уточнение, поговорим о том, что такое функция.
I. Понятие функции
В самом общем виде функция — это правило,
по которому элементам одного множества ставятся в соответствие элементы любого другого множества.
Это важно!
Иногда эти множества называют, соответственно, областью определения и областью значений функции.
А иногда — когда слово «функция» заменяют более общим понятием «морфизм» — источником (source) и назначением (target) морфизма.
Здесь есть одно важное требование,
которое отличает функцию от любых других возможных правил сопоставления элементов двух множеств:
Чтобы правило сопоставления элементов
являлось функцией,
каждому элементу первого множества должен быть сопоставлен ровно один элемент второго множества.
Требование к функции
Это не означает, что различным элементам первого множества должны обязательно быть сопоставлены различные элементы из второго множества.
Поэтому, например, вот такое незатейливое правило функцией будет:
А вот такое — уже нет:
Примечние
но и потому, что элементу а из множества А вообще не поставлен в соответствие
ни один элемент из множества В.
Заметим, что в последнем случае изображенное правило не будет функцией не только потому, что элементу b множества А поставлены в соответствие сразу два элемента из множества В,
Или по-другому:
функция — это чрезвычайно удобный способ упаковки знания
Смысл данного требования — в желании иметь определенность.
Вообще математическую функцию удобно понимать как модель некоторого контролируемого, или предсказуемого процесса — в частности, процесса репрезентации данных.
Рассмотрим в связи с только что сказанным еще один пример:
f = любимый завтрак
кофе
овсянка
тосты
яйца
Сэм
Джон
Мэри
.
В данном случае правило f
сопоставляет каждому из трех человек их любимый завтрак.
f(x) = y
То есть, «пробегая» по всем людям компании,
мы точно знаем их предпочтения, хоть они могут у некоторых людей и совпадать.
Формально это записывают так:
ее еще называют независимой переменной, или аргументом
Это значит, что если мы подставим на место переменной x
конкретный элемент из списка, мы всегда сможем узнать значение функции f на этом элементе
В данном случае, например,
В предыдущем примере такая определенность отсутствовала:
f (b) одновременно равнялось и нулю, и единице
f (Джон) = яйца
Поэтому функцию еще иногда называют функциональной зависимостью — если элементы первого множества мы можем изменять произвольно,
то изменение значений уже строго зависит от того, как было задано правило f
Кстати сказать, множеству значений — неслучайно
в определении оно было нами названо «любым другим множеством» — никто не запрещает совпадать с первым:
g = понравившийся человек
Джон
Мэри
Сэм
Джон
Мэри
Сэм
вроде бы тоже сопоставляет каждому из членов группы их предпочтения — только в данном случае ими оказываются уже не продукты,
а члены той же группы.

Здесь правило g
задание
Определить, какие из следующих диаграм задают функцию:
a)
b)
c)
• табличный
• графический
• словесный
• аналитический (с помощью формулы)
II. Способы задания функции
Кроме рассмотренных нами выше диаграмм, существуют и другие способы задания функции:
2. Графический
Мороженое

Тапиока

Пирог
Цена
Приведем примеры для каждого:

1. Табличный
функция «десертное меню»
На рисунке отображена
посещаемость сайта Яндекс
в 2009м году.

По горизонтали указаны месяцы,
по вертикали — количество человек, посетивших сайт в данном месяце.

Для наглядности точки на рисунке соединены линией.
Десерт
$ 1.50

$ 3.00

$ 2.50
Заметьте, что изначально функция задана на множестве, состоящем всего из 11 отдельных элементов — в данном случае это месяцы года
И непрерывная линия, соединяющая соседние точки на графике — это уже не исходная функция, а так называемая интерполяция:
приближение, позволяющее предсказать промежуточные значения. Это делает графическое представление данных чрезвычайно наглядным
и удобным.
Однако, таблицы и отчасти графики хороши лишь для задания функций на конечных множествах.
Математики же, в основном, работают с множествами числовыми, которые, как правило, не являются конечными. В таких случаях правило сопоставления приходится определять либо словесно, либо с помощью формулы.
Замечание
3. Словесный
Рассмотрим в качестве примера такое правило, задающее функцию на множестве всех целых чисел: каждому числу функция f сопоставляет его остаток от деления на три.
Несмотря на то, что целых чисел бесконечно
много, по этому правилу мы в состоянии вычислить значение функции для любого целого числа:
Строго говоря, на формулу тоже можно смотреть как
на высказывание в некотором формализованном языке,
поэтому аналитический способ задания функции —
это продолжение словесного, доведенное математиками до совершенства.
Заметка
4. Аналитический способ задания функции:
При аналитическом способе задания функции график уже имеет вспомогательный характер,

хотя непрерывная линия тут не является приближением — значения у функции есть
во всех точках кривой.
f(x) = √x
Y
X
f(x) = √x
_
_
Обратите внимание,
что, переходя от примера к примеру,
мы незаметно подошли к рассмотрению функций числовых, а в последнем примере функция была задана на множестве так называемых действительных чисел (в данном случае — неотрицательных).
Сейчас же пора сказать самое главное:
Это множество (обозначаемое буквой ) — довольно сложный для понимания объект, и к его устройству
мы будем обращаться еще не раз.
Математический анализ как раз и занят преимущественно исследованием
поведения функций, областью определения и областью значений которых являются или вообще все действительные числа, или какие-то их подмножества.



важная мысль
Итак,
с учетом принятых в математике обозначений мы можем сказать, что предметом изучения математического анализа являются функции вида
Разумеется, в большинстве своем все они заданы формулами, поскольку только формулы и можно анализировать математически — именно поэтому способ задания функции с помощью формулы был назван нами аналитическим.

Функцию, заданную формулой, можно раскладывать в ряд, интегрировать, брать производную
и совершать все те действия, которые, собственно,
и изучаются в полном курсе математического анализа. Если вспомнить, что функцию мы, в числе прочего, назвали удобным способом упаковки знания, то математический анализэто множество техник по его распаковке.


С частью этих действий мы познакомим вас и на страницах нашего журнала.
А начнем мы наше более глубокое знакомство с техниками математического анализа с изучения числовых последовательностей.
Это вообще — то тоже в каком-то смысле функции — функции, заданные на множестве натуральных чисел, или, как их еще иногда называют — функции натурального аргумента
III. Последовательности
Последовательность — это занумерованное (возможно, бесконечное) множество элементов, в котором имеет значение порядок их следования
Этим последовательность отличается от обычного множества.
Определение 1
Учитывая сказанное,
Еще одно отличие состоит в том, что элементы последовательности могут повторяться. Конечную последовательность иногда еще называют «строкой» или «словом».
1010 и 0101 или АБЫРВАЛГ и ГЛАВРЫБА — это четыре разные последовательности, которым соответствуют два множества: {0, 1} и {А, Б, В, Г, Л, Р, Ы}.
Последовательность — это функция, областью определения которой является либо
(в случае бесконечной последовательности) множество всех натуральных чисел, либо
(в случае конечной последовательности длины n) — множество, состоящее из первых n натуральных чисел.
Определение 2
важная мысль
Для целей математического анализа особенно важны числовые последовательности, элементами которых являются вещественные, или действительные числа.
Пока для простоты любое действительное число мы будем представлять себе в виде бесконечной десятичной дроби.

При этом целому числу будет соответствовать дробь, у которой после запятой идут одни нули, рациональному числу (или обыкновенной дроби) будет соответствовать либо конечная десятичная, либо бесконечная периодическая,
а иррациональным числам, то есть корням всех степеней, а также числам типа π и e – бесконечные непериодические десятичные дроби.
Тот факт, что всякая обыкновенная дробь либо представляется в виде конечной десятичной дроби, либо обязательно даст период, чрезвычайно важен.

Его доказательство мы подробно разбираем здесь
(начиная с десятой минуты):
Не менее важным фактом является
и то, что квадратный корень из целого положительного числа
(если он не является целым числом) не может быть представлен в виде
обыкновенной дроби, и поэтому необходимо будет иметь вид бесконечной непериодической десятичной дроби.

Доказательство этого факта будет рассмотрено позже
И здесь возникает, пожалуй, самый главный вопрос в этой теме:
Как мы видим, все такие дроби сами
(с точностью до знака или места запятой)
есть не что иное, как бесконечные последовательности натуральных чисел:

Если последовательность — это функция,
а функция — это правило, сопоставляющее элементам одного множества элементы другого множества, то мы должны озаботиться и способами задания последовательностей,
в особенности — бесконечных.

важная мысль
Итак, бесконечная последовательность
считается заданной, если известно правило,
по которому для любого натурального n
можно найти значение n-го члена этой последовательности.
Как можно задать эти последовательности?
Во всех наших примерах, кроме последнего, видны
те или иные закономерности, поэтому их легко описать.
Обратимся снова
к нашим примерам.
Иначе говоря, последовательность задана,
если задан ее общий член
.
Начнем с самого первого примера.
В принципе мы вправе выбрать любую форму записи — например, такую:

Но общепринятый способ обозначения немного иной:
То есть, члены последовательности обозначают
какой-либо буквой с нижним индексом, соответствующим номеру этого члена в данной последовательности.

Вторая последовательность
в этом смысле не сильно отличается от первой:

В принципе, их обе можно было бы задать
и графически, как определенные на конечном подмножестве натуральных чисел:
*
Первая последовательность
Вторая последовательность
Четвертая последовательность — вообще постоянная:
*
Третья последовательность
задается простейшей формулой:
для любого натурального
Бесконечную периодическую последовательность 0, 142857142857…..

можно задать словесно, сказав, например, что первый член последовательности равен нулю,
а, начиная со второго, каждый n-й член последовательности равен n-му остатку от деления 10 на 7 в алгоритме, переводящем обыкновенную дробь
в десятичную форму.
7
__
1
последняя последовательность цифр представляет собой, как, возможно, кто-то уже догадался, начало десятичной формы записи числа π.
*
Наконец,
И здесь возникают серьезные сложности,
поскольку в последовательности этих цифр
не существует никакой очевидной закономерности, которую мы могли бы использовать при формулировании правила ее задания…


*
Давайте ненадолго оставим эту задачу и попробуем справиться с задачей попроще:
_
Поскольку √2 — число иррациональное,
то оно представимо лишь в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, а, значит, последовательность цифр, входящих в такую
запись, тоже не имеет закономерностей.

_
задать последовательность цифр, входящих в десятичную запись √2 = 1,414213562373...
Здесь нам может помочь определение арифметического квадратного корня из числа a.
Так как же в таком случае быть?
Напоминаем, что арифметическим квадратным корнем из числа a ≥ 0 называется такое число b 0, квадрат которого равен a.

Поэтому мы можем последовательно приближаться к числу 2 с меньшей и большей стороны, подбирая его оценки с недостатком и с избытком сначала с точностью до целых, потом до десятых, затем до сотых и так далее «до бесконечности»...
*
В результате мы получим такую систему неравенств:


И таким образом
мы нашу
последовательность все же построим,

сопоставляя каждому номеру n последнюю цифру в соответствующей оценке 2 с недостатком (или, как говорят в таких случаях — слева, или снизу).



Обратите внимание, что если мы изобразим
нашу процедуру графически
, то это будет выглядеть так, как если бы мы на числовой прямой отметили некоторую систему отрезков бесконечно уменьшающейся длины, оказывающихся вложенными друг в друга:
_
*
для понимания свойство множества действительных чисел заключается в том, что только в нем такая система вложенных отрезков будет иметь единственную общую точку!

В нашем примере такой единственной точкой и будет число, в точности равное квадратному корню из двух.

Это свойство называется принципом вложенных отрезков Кантора, и этот принцип эквивалентен
аксиоме полноты множества действительных чисел.
И вот основное
и, пожалуй,
самое загадочное
и сложное
*
мы аксиоматически полагаем, что действительные числа заполняют всю числовую прямую без каких-либо сколь-угодно малых пробелов!

Это означает, что у нас нет другого способа убедиться в том, что между ними и точками на прямой есть взаимно-однозначное соответствие — мы просто соглашаемся считать, что действительные числа устроены именно так!
Я прошу всех вдуматься в то, что здесь сейчас происходит:
*
Это соглашение позволяет нам, в частности, рассматривать последовательности и другого вида — а именно: ведь мы могли бы каждому номеру n ставить в соответствие не цифру, входящую в десятичную запись оценки 2 слева, а саму эту оценку, т. е. некоторую конечную десятичную дробь — то же самое мы можем проделать и с оценкой сверху.
В результате мы получим последовательность приближений 2 конечными десятичными дробями слева и справа (снизу и сверху). Соответствующие последовательности будут выглядеть следующим образом:
_
_
Последовательность a
и ограниченной сверху, последовательность b
и ограниченной снизу


И, согласно принципу вложенных отрезков, обе эти последовательности ограничены одним и тем же, единственным числом, равным 2. Но мы можем сказать и больше — мы можем сказать, что эти последовательности к этому числу сходятся, или, что тоже самое, что 2 — это их предел
n
n
важная заметка
Число А называется пределом последевательности x
если для любого положительного числа ε найдется такой номер k,
начиная с которого все члены последовательности будут отличаться от А менее, чем на ε.
определение
n
Графически это можно изобразить так:


,
— монотонно убывающей
называется монотонно возрастающей
n
k
k + 2
k + 1
Как видно из рисунка, это означает, что на сколь-угодно малое расстояние
ε от А мы бы не отступили, начиная с какого-то номера k, все члены последовательности x⠀, x⠀⠀ , x⠀⠀ ⠀и т. д. будут иметь значения, лежащие в промежутке A ± ε.
Или, что то же самое — последовательность x⠀ устроена таким образом, что вне этого промежутка всегда окажется лишь конечное число ее элементов.
важная заметка
ε
Заметим, что аксиома полноты или непрерывности не выполняется для множества таких чисел — система вложенных отрезков из нашего примера не будет иметь
в множестве рациональных чисел общей точки!
где m и n — целые числа.
Все сказанное означает, что большая
часть действительных чисел определяется
в терминах пределов, то есть как последовательность тех или иных приближений рациональными числами,
или числами вида
без этой аксиомы было бы невозможно строгое построение математического анализа, было бы невозможно доказать существование значений
у степенной, показательной, логарифмической и всех тригонометрических
функций на естественных для них областях определения, и т.п.
Вывод
Таким образом,
нашего повествования неформально определили предмет математического анализа как изучение функций вида f :

Возможно, теперь читателем стало более понятным, почему мы смогли себе это позволить.
И числовые последовательности во многом интересуют математиков именно с этой точки зрения — как последовательности приближений иррациональных чисел рациональными.

Помните, как мы в начале
вернемся к отложенной нами на время проблеме того, как можно задать последовательность,
в которой n-му члену соответствует цифра, стоящая на n-м месте в десятичной записи
числа π
В заключение,
Для этого сначала вспомним, что вообще обозначает эта величина?
Наверное, многие помнят, что это отношение длины окружности к ее диаметру, и что оно постоянно для любой окружности
Вообще говоря, постоянство такого отношения — сам по себе далеко не тривиальный геометрический факт, который будет разобран нами в соответствующем разделе журнала.
Сейчас же мы хотим лишь обратить внимание читателей на то, что число, выражающее это отношение, как и квадратный корень из двух, тоже может быть определено лишь как последовательность приближений — например, как последовательность значений периметров вписанных в окружность единичного диаметра правильных n-угольников при бесконечно растущем числе n их углов.
π
Вписанные многоугольники можно заменить
на описанные — тогда их периметры будут образовывать не возрастающую
, а убывающую последовательность, приближающуюся к числу π сверху. Или можно попытаться вычислить значения
и для той, и для другой, как сделал в свое время
Архимед, дойдя до n = 96, и получив свои знаменитые оценки:
то она, как мы и отмечали ранее, невероятно трудна — считается, что вычислить n-ю цифру в записи числа π столь же сложно, как и вычислить его приближение
с точностью до этой цифры.

Хотя известен как называемый spigot алгоритм, позволяющий довольно легко вычислить n-ю цифру числа — правда, в шестнадцатеричной системе счисления. (Spigot — англ. кран, клапан, контролирующий напор жидкости. Имеется в виду,
что алгоритм выдает цифры дозированно, как регулируемый вентиль.)

В любом случае такого рода задачи выходят далеко за рамки Введения.


Что же касается исходно поставленной задачи,
IV. Алгоритм приближения квадратного корня. Вавилонский метод
А закончить наше элементарное введение
в математический анализ хотелось бы рассмотрением алгоритма приближения квадратного корня, дошедшего до нас благодаря вавилонским глиняным клинописным табличкам, большая часть из которых датируется приблизительно 18 - 16 вв. д. н. э.!

Он так и называется — Вавилонский метод.



Предположим, что у нас есть какое-то положительное число А, квадратный корень из которого не является целым числом.
Основная идея метода состоит в наблюдении, что если a — приближенное значение A с избытком, то b =
будет приближением с недостатком
(т. е. b < a), и наоборот,

но в любом случае a =

будет являться, во-первых, лучшим приближением,
чем a или b, и, во-вторых, всегда будет приближением
с избытком.


a
1
__
A
__
2
_________
A + B
Это следует из так называемого неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим:
Причем, равенство достигается только при x = y.
Это означает, что
Или A < a⠀< a.

То есть, мы имеем монотонно убывающую ограниченную
последовательность приближений:
A <...a⠀⠀⠀< a⠀ <....< a⠀< a⠀< a, где
1
n + 1
n
2
1
Это означает, что




Или A < a⠀< a.

То есть, мы имеем монотонно убывающую ограниченную
последовательность приближений:
A <...a⠀⠀⠀< a⠀ <....< a⠀< a⠀< a, где
Такое задание последовательности, когда каждый последующий ее член определяется через предыдущие, называется рекурсивным.
И, значит, Вавилонский метод, действительно успешен, поскольку генерирует последовательность приближений, сходящуюся к A.
Но мы теперь легко можем его найти
__
Как можно было бы увидеть соизмеримость
или несоизмеримость геометрически?


Давайте нарисуем прямоугольник шириной 2
и высотой 1. И попробуем «замостить» его квадратами со стороной, равной меньшей стороне нашего прямоугольника, т. е. 1.

Мы видим, что такой квадрат умещается
в прямоугольнике целиком всего один раз,
оставляя полоску размером 1 на 2 — 1.
Для большей наглядности исходный прямоугольник можно удлинить на еще один квадрат со стороной 1,
чтобы сразу увидеть один и тот же алгоритм:
в прямоугольник укладывается два квадрата, оставляя меньший прямоугольник с точно таким
же соотношением сторон.
V. √2 и геометрический смысл алгоритма Евклида.
_