Требование к функции

Замечание

3. Словесный

Рассмотрим в качестве примера такое правило, задающее функцию на множестве всех целых чисел: каждому числу функция f сопоставляет его остаток от деления на три.

Заметка

Обратите внимание,

что, переходя от примера к примеру,
мы незаметно подошли к рассмотрению функций числовых, а в последнем примере функция была задана на множестве так называемых действительных чисел (в данном случае — неотрицательных).

Сейчас же пора сказать самое главное:

Это множество (обозначаемое буквой ℝ) — довольно сложный для понимания объект, и к его устройству
мы будем обращаться еще не раз.

Математический анализ как раз и занят преимущественно исследованием
поведения функций, областью определения и областью значений которых являются или вообще все действительные числа, или какие-то их подмножества.

важная мысль

А начнем мы наше более глубокое знакомство с техниками математического анализа с изучения числовых последовательностей.

Учитывая сказанное,

1010 и 0101 или АБЫРВАЛГ и ГЛАВРЫБА — это четыре разные последовательности, которым соответствуют два множества: {0, 1} и {А, Б, В, Г, Л, Р, Ы}.

важная мысль

Итак, бесконечная последовательность

Обратимся снова
к нашим примерам.

Но общепринятый способ обозначения немного иной:

В принципе, их обе можно было бы задать
и графически, как определенные на конечном подмножестве натуральных чисел:

Третья последовательность
задается простейшей формулой:
для любого натурального

Четвертая последовательность — вообще постоянная:

Бесконечную периодическую последовательность 0, 142857142857…..

можно задать словесно, сказав, например, что первый член последовательности равен нулю,
а, начиная со второго, каждый n-й член последовательности равен n-му остатку от деления 10 на 7 в алгоритме, переводящем обыкновенную дробь

в десятичную форму.

последняя последовательность цифр представляет собой, как, возможно, кто-то уже догадался, начало десятичной формы записи числа π.

Наконец,

И здесь возникают серьезные сложности,
поскольку в последовательности этих цифр
не существует никакой очевидной закономерности, которую мы могли бы использовать при формулировании правила ее задания…

Давайте ненадолго оставим эту задачу и попробуем справиться с задачей попроще:

Поскольку √2 — число иррациональное,
то оно представимо лишь в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, а, значит, последовательность цифр, входящих в такую
запись, тоже не имеет закономерностей.

задать последовательность цифр, входящих в десятичную запись √2 = 1,414213562373...

Здесь нам может помочь определение арифметического квадратного корня из числа a.

Так как же в таком случае быть?

Напоминаем, что арифметическим квадратным корнем из числа a ≥ 0 называется такое число b ≥ 0, квадрат которого равен a.

Поэтому мы можем последовательно приближаться к числу 2 с меньшей и большей стороны, подбирая его оценки с недостатком и с избытком сначала с точностью до целых, потом до десятых, затем до сотых и так далее «до бесконечности»...

В результате мы получим такую систему неравенств:

И таким образом
мы нашу
последовательность все же построим,

сопоставляя каждому номеру n последнюю цифру в соответствующей оценке √2 с недостатком (или, как говорят в таких случаях — слева, или снизу).

Обратите внимание, что если мы изобразим
нашу процедуру графически , то это будет выглядеть так, как если бы мы на числовой прямой отметили некоторую систему отрезков бесконечно уменьшающейся длины, оказывающихся вложенными друг в друга:

мы аксиоматически полагаем, что действительные числа заполняют всю числовую прямую без каких-либо сколь-угодно малых пробелов!

Это означает, что у нас нет другого способа убедиться в том, что между ними и точками на прямой есть взаимно-однозначное соответствие — мы просто соглашаемся считать, что действительные числа устроены именно так!

Это соглашение позволяет нам, в частности, рассматривать последовательности и другого вида — а именно: ведь мы могли бы каждому номеру n ставить в соответствие не цифру, входящую в десятичную запись оценки √2 слева, а саму эту оценку, т. е. некоторую конечную десятичную дробь — то же самое мы можем проделать и с оценкой сверху.

В результате мы получим последовательность приближений √2 конечными десятичными дробями слева и справа (снизу и сверху). Соответствующие последовательности будут выглядеть следующим образом:

_

_

Число А называется пределом последевательности x
если для любого положительного числа ε найдется такой номер k,
начиная с которого все члены последовательности будут отличаться от А менее, чем на ε.

Последовательность a
и ограниченной сверху, последовательность b
и ограниченной снизу

И, согласно принципу вложенных отрезков, обе эти последовательности ограничены одним и тем же, единственным числом, равным √2. Но мы можем сказать и больше — мы можем сказать, что эти последовательности к этому числу сходятся, или, что тоже самое, что √2 — это их предел

важная заметка

определение

Графически это можно изобразить так:

—

—

,

Как видно из рисунка, это означает, что на сколь-угодно малое расстояние
ε от А мы бы не отступили, начиная с какого-то номера k, все члены последовательности x⠀, x⠀⠀ , x⠀⠀ ⠀и т. д. будут иметь значения, лежащие в промежутке A ± ε.
Или, что то же самое — последовательность x⠀ устроена таким образом, что вне этого промежутка всегда окажется лишь конечное число ее элементов.

k + 1

k + 2

важная заметка

ε

где m и n — целые числа.

Заметим, что аксиома полноты или непрерывности не выполняется для множества таких чисел — система вложенных отрезков из нашего примера не будет иметь
в множестве рациональных чисел общей точки!

Все сказанное означает, что большая
часть действительных чисел определяется
в терминах пределов, то есть как последовательность тех или иных приближений рациональными числами,
или числами вида

без этой аксиомы было бы невозможно строгое построение математического анализа, было бы невозможно доказать существование значений
у степенной, показательной, логарифмической и всех тригонометрических
функций на естественных для них областях определения, и т.п.

Вывод

Таким образом,

нашего повествования неформально определили предмет математического анализа как изучение функций вида f :

Возможно, теперь читателем стало более понятным, почему мы смогли себе это позволить.
И числовые последовательности во многом интересуют математиков именно с этой точки зрения — как последовательности приближений иррациональных чисел рациональными.

Помните, как мы в начале

вернемся к отложенной нами на время проблеме того, как можно задать последовательность,
в которой n-му члену соответствует цифра, стоящая на n-м месте в десятичной записи
числа π

В заключение,

то она, как мы и отмечали ранее, невероятно трудна — считается, что вычислить n-ю цифру в записи числа π столь же сложно, как и вычислить его приближение
с точностью до этой цифры.

Хотя известен как называемый spigot алгоритм, позволяющий довольно легко вычислить n-ю цифру числа — правда, в шестнадцатеричной системе счисления. (Spigot — англ. кран, клапан, контролирующий напор жидкости. Имеется в виду,
что алгоритм выдает цифры дозированно, как регулируемый вентиль.)

В любом случае такого рода задачи выходят далеко за рамки Введения.

Что же касается исходно поставленной задачи,

Это следует из так называемого неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим:

Причем, равенство достигается только при x = y.

Это означает, что




Или A < a⠀< a.

То есть, мы имеем монотонно убывающую ограниченную
последовательность приближений:
A <...a⠀⠀⠀< a⠀ <....< a⠀< a⠀< a, где

Это означает, что
Или A < a⠀< a.

То есть, мы имеем монотонно убывающую ограниченную
последовательность приближений:
A <...a⠀⠀⠀< a⠀ <....< a⠀< a⠀< a, где

n + 1

Такое задание последовательности, когда каждый последующий ее член определяется через предыдущие, называется рекурсивным.

И, значит, Вавилонский метод, действительно успешен, поскольку генерирует последовательность приближений, сходящуюся к √A.

Но мы теперь легко можем его найти

корень из двух оказался представлен в виде выражения, включающее его самого. А это значит, что вместо корня можно подставить все выражение, и процесс зациклится — т. е. данная цепная дробь никогда
не оборвется.

В то время как прямым следствием того же алгоритма Евклида (можно даже сказать — другой его формой) является представимость любого рационального числа
в виде конечной цепной дроби

То есть, мы видим, что, начиная со второго шага, имеет место так называемая бесконечная рекурсия —

Геометрически это означает, что какие бы два целых числа мы не взяли, то ситуации абсолютного самоподобия, √2 и 1, мы не получим

Алгоритм Евклида вообще-то является алгоритмом нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел а и b.

_

Вообще говоря, вопрос о соизмеримости
и несоизмеримости величин не такой уж и очевидный.

Или, говоря иначе, серия уменьшающихся прямоугольников должна оборваться, поскольку меньшая сторона рано или поздно уложится в большей целое число раз. Т. е. целые числа соизмеримы.

Греков он, например, в свое время абсолютно потряс.
Ну и действительно, интуитивно кажется чем-то очевидным, что если мой шаг имеет длину a, а ваш —длину b, то, сделав вдоль некоторой прямой по m и n шагов, соответственно, мы рано или поздно встретимся. Или нет?

Ну так вот, соизмеримыми будут такие
величины a и b, что найдется величина c, которая
«уложится» как в a, так и в b целое число раз, т. е. такая,
что a = mc и b = nc m, n⠀⠀N

Возвращаясь
к примеру с шагами,

это будет означать, что n шагов
длины а в точности совпадут с m шагов длины b.
В самом деле, если a = mc и b = nc, то na = mb = mnc.
На плоскости это будет соответствовать
примерно вот такой картинке:

Если принять за единицу длины длину одной клеточки,
то требуемая величина c здесь очевидным образом существует — в данном случае она равна 2.

Другими словами, деля большую сторону прямоугольника на меньшую с остатком, мы
на четвертом шаге геометрической версии алгоритма Евклида получили прямоугольник, меньшая сторона которого уложилась в большей целое число раз.
Длина этой стороны и есть наибольший общий делитель длин a и b. В случае, когда a и b целые числа, то такое деление заканчивается всегда — меньшая сторона длины
1 уложится целое число раз в большей стороне любой целочисленной длины.

Закончится оно и в случае, если a и b числа рациональные.

Но вот уже диагональ квадрата со стороной 1 оказывается несоизмеримой с единицей — так что грекам было, чему удивиться, согласитесь...

Журнал развивается и регулярно пополняется новыми материалами.

Подписывайтесь и знакомьтесь с ними первыми!