Комплексные числа вымысел или реальность?
Bот как, например, используются комплексные числа в реальной жизни? Нет, положительно у обратившегося с подобным вопросом попросту нет сердца...

Появление комплексных чисел традиционно и не без причин связывают с попытками решения кубических уравнений. Хотя они возникают уже и при решении квадратных. Но где реальность и где уравнения пускай даже и квадратные? И тем не менее: потерпите, реальность скоро появится…
Джероламо Кардано в своей «Ars Magna» (1545) решает следующую задачу: разделить величину в 10 единиц на две части таким образом, чтобы произведение частей равнялось 40.
Нет хуже вопроса для математика, чем вопрос о применимости его предмета к реальности нет у него ответа на этот вопрос. И этот факт повергает нашего математика в величайшее уныние.
Часть I
Итак, во-первых, есть письменные свидетельства того, насколько реальны были страдания первопроходцев, осмелившихся довести до конца казавшиеся на тот момент совершенно бессмысленными «вычисления»
Затем некто Рафаэль Бомбелли проделывает примерно то же самое только уже в своей собственной книге «Алгебра» (1572).
Даже вынося за скобки реальный психологический дискомфорт, который испытывали поначалу даже сами математики при работе с квадратными корнями из отрицательных величин, мы видели, что мнимые величины стали приносить реальную пользу которая, правда, все еще находилась внутри самой математики.
Хоть это не так уж и мало. Посудите сами, перед исследователями открылась некая область, в которую можно зайти, что-то там такое поделать по вполне строгим, хоть и не до конца объяснимым правилам и вернуться обратно с достоверным и, что самое главное, реальным результатом!
Итак, мы продолжаем разговор о приложении комплексных чисел к так называемой «реальной жизни».
Часть II
Кто-то из классиков (то ли Ферма, то ли Гаусс, то ли Эйлер) однажды задался вопросом: в каком случае простое число р представимо в виде суммы квадратов двух чисел?
Ответ на этот вопрос известен сейчас как теорема Ферма-Гаусса-Эйлера (оказалось, что в таком виде представляются только простые числа, дающие в остатке от деления на 4 единицу), доказательство ее довольно непросто, и обсуждать его мы не станем скажем лишь, что один из возможных путей к нему также лежит через комплексные числа.
Приведем еще один пример на этот раз из теории чисел. То есть, чисел даже не вещественных (reals), а целых (integers) а что может быть реальнее целых чисел? Разве что натуральные...
Эту новую полезную, но «бессмысленную» сущность стали называть мнимой единицей. С ее участием все используемые нами ранее выражения приобретают более системный и аккуратный вид:
И утверждение мы сейчас докажем такое: если какие-то два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то и их произведение является суммой двух квадратов.
«Мнимые» сущности опять «чудесным образом» исчезли, оставив нас с суммой квадратов двух целых чисел (сумма, разность и произведение двух целых есть целое, не правда ли?).
То есть, мы занырнули в более удобную, хоть и небычную область, и вышли из нее с интересующим нас результатом в области обычной!
Стоит ли удивляться, что первым человеком, указавшим на то, как надо «правильно» понимать новые числа, снова оказался Гаусс. С его легкой руки мнимая единица, а с ней и все мнимая ось расположились перпендикулярно к действительной числовой оси, и так у воображаемых чисел появилась вполне реальная, геометрическая интерпретация:
Часть III
Гаусс прямо говорит о крайне неудачно выбранной терминологии в случае с комплексными числами: если бы мы сразу отождествляли числа с направлениями, считает он и мыслили бы положительные числа направленными вперед, отрицательные назад, а воображаемые (мнимые) в сторону, то вместо замешательства была бы полная ясность.
Но отождествлением множества комплексных чисел с множеством точек обычной плоскости дело отнюдь не ограничилось. Помните, мы уже как-то говорили о том, что числа можно рассматривать как действия? А точнее, как сдвиги числовой прямой вправо-влево или ее растяжения/сжатия? Так вот эта аналогия в случае с комплексными числами начинает работать еще полнее: к сдвигам и растяжениям плоскости добавляются ее вращения!
Отождествление комплексного числа с поворотом и растяжением плоскости оказывается возможным благодаря тому, как на этом множестве определено умножение. Давайте посмотрим, как это выглядит на конкретных примерах.
Начнём с самого простого с умножения единицы вещественной на единицу мнимую:
Это же останется верным, если мы домножим на i произвольное комплексное число z в геометрической интерпретации это очень хорошо видно:
В общем же случае умножение числа z на число w будет тождественно повороту плоскости на некоторый угол одновременно с ее растяжением так, чтобы точка z оказалась совмещённой с новой точкой, равной произведению zw:
1
3
4
Умножив единицу на i дважды, то есть возведя мнимую единицу в квадрат, получим 1, что в точности соответствует развороту плоскости на 180 градусов
i ∙ 1 = i, то есть умножение на i переводит единицу в i, а это не что иное, как поворот на 90 градусов против часовой стрелки.
2
Это удивительное свойство радикально отличает обычную координатную плоскость, в которой возможно лишь сложение точек как векторов, от плоскости, с введённой на ней структуры комплексных чисел что делает последнюю чрезвычайно удобной для компьютерного моделирования и вообще для визуализации сложных динамических процессов, которые иначе чрезвычайно трудно себе представить.
Таким образом, комплексные числа неожиданным образом находят применение не только внутри самой математики, но и в компьютерном моделировании, аэродинамике, электротехнике и многих других прикладных областях.