Евклидова геометрия как дедуктивный способ мыслить
С чего бы вообще кто-то мог вообразить, что «чистый разум» обязательно приведет нас к истинам о мире?

Ответ заключается в том коллосальном воздействии, которое оказала геометрия на греческих философов и, особенно, на Платона.
Сегодня идея того, что к неопровержимым истинам можно прийти исключительно путем размышления, безнадежно устарела. Так думал Платон, но Платон ошибался.
В одном из платоновских «Диалогов» Сократ помогает рабу доказать, что если в квадрате провести диагональ и построить на ней другой квадрат, то площадь второго квадрата будет вдвое больше площади первого.
При этом сам Сократ доказательство не формулирует – вместо этого он задает рабу вопросы и в конце концов добивается от него правильного ответа.

Тогда Сократ говорит ему, что он, должно быть, знал доказательство и сам, поскольку Сократ всего лишь задавал вопросы знание этой истины всегда содержалось в сознании раба, но его нужно было оттуда извлечь.

Акт размышления над тем, что ответить Сократу, высвободил это знание и позволил ему выбраться из глубин на свет. Так Платон приходит к фундаментальной для всей его философии мысли о том, что разум способен приблизиться к истине и овладеть ею.
А в те времена, когда результаты были относительно свежими, впечатлительному уму вполне могло казаться, что предела для данных методов не существует в принципе. Евклид начинает с определений точек и линий.

Важно понимать, что эти объекты являются абстракциями, полученными в результате наблюдений за способом, которым египтяне размечали берега Нила, вбивая в них колышки, и соединяя их между собой туго натянутой веревкой. Это было необходимо, поскольку Нил разливался и смывал любую другую разметку, позволявшую людям отличать свое поле от чужого.
Когда читаешь «Начала» Евклида и видишь, как, одно за другим, там строятся все новые и новые доказательства геометрических теорем из ничтожно малого набора аксиом, невольно оказываешься поражен тем, чего можно достичь путем долгих и тщательных рассуждений.
Колышки и веревки в данном контексте являются не слишком сложными вещами — у них всего несколько важных свойств, и они легко могут быть абстрагированы до свойств точек и линий на плоскости. Будучи записанными, эти свойства стали аксиомами планиметрии. Связь с реальным миром здесь очевидна, хоть в дальнейшем и рассматриваются только некоторые из его сущностных свойств.
Но для многих греков связь с реальностью была слишком незначительной деталью, чтобы обращать на нее внимание. Аксиомы были объявлены «самоочевидными истинами», взятыми силой чистой мысли у реальности, и философы перестали задумываться над тем, что аксиомы могли быть чем-то еще.
Думать, что они отвлечены от таких простых вещей, как колышки и веревки, было бы слишком скучно. К сожалению, привычка рассуждать подобным образом дошла и до наших дней.