Гармоническая четверка
Г
Определение
Гармонической четверкой точек называют такие четыре точки А, В, C и D, расположенные на проективной прямой, что
Данное отношение направленных отрезков называют двойным отношением (cross-ratio) и обозначают (AB, CD). Двойное отношение является инвариантом относительно любых проективных преобразований. В частности, если точки A, B, C, D, лежащие на прямой l, образовывали гармоническую четверку, то ее будут образовывать и точки A', B', C', D', являющиеся их проекциями на прямую p с центром в точке Р :

Можно заметить, что если у нас есть гармоническая четверка точек
Поэтому сказать, что
Соответственно, гармонической четверкой прямых, или гармоническим пучком прямых называют такие четыре прямые a, b, c, d, лежащие в проективной плоскости, и проходящие через одну общую точку Р, для которых любая четверка точек A ∈ a, B ∈ b, C ∈ c, D ∈ d, лежащих на одной прямой, является гармонической.

то, чтобы соотношение
сохранялось при смещении точки В в направлении С, точка А тоже должна будет смещаться в направлении С. А при смещении точки В вправо, чем больше В будет приближаться к середине отрезка СD, тем дальше точка А должна будет «отлететь» влево. И ситуации, при которой В станет серединой CD, будет соответствовать точка А, удаленная в бесконечность!
в ситуации, когда А — бесконечно удаленная точка, это есть способ сказать о том, что точка В — середина отрезка СD, на языке проективной геометрии, в котором, вообще говоря, отсутствует понятие расстояния. Именно поэтому проективную геометрию еще иногда называют «геометрией линейки» (Под линейкой здесь понимается сугубо инструмент проведения прямых линий — без делений и т п. В английском языке для этого инструмента есть отдельное слово — straightedge — ну а вот  в русском, к сожалению, нет...).
Обратите внимание, что гармоническим пучком прямых, соответствующих только что описанной нами ситуации, будет являться следующий:
где прямая a пересекается с прямой l в бесконечно удаленной точке А.
Прямые а и b, скати сказать, часто называют гармонически сопряженными, относительно прямых c и d (то же касается и соответствующих им точкам), и в данном случае прямые а и b являются биссектрисами углов, которые образуют прямые c и d.
Рассмотрим тот же гармонический пучок прямых a, b, c, d с той лишь разницей, что прямые c и d будут являться диагоналями квадрата, который мы достроим на стороне PQ:
Точка пересечения диагоналей квадрата Z в данном случае будет общей точкой гармонического пучка прямых, и ее же еще называют диагональной точкой четырехсторонника PQRS. Но у произвольного четырехсторонника существуют еще две точки пересечения противоположных сторон, которые также называются диагональными:
И вот дальше начинается самая настоящая магия — магия проективной геометрии! С полным ее последующим разоблачением, конечно.
В частности, любые параллельные прямые каждого направления пересекаются в единственной бесконечно удаленной точке. Соответственно, противоположные стороны квадрата PQ, RS и прямая a пересекутся в некоторой бесконечно удаленной точке Y, а стороны PS, QR и прямая b — в некоторой другой точке X. Это и будут недостающие диагональные точки. Но самое важное здесь то, что эти точки также будут общими точками некоторых новых гармонических пучков прямых, которые в обычном евклидовом смысле нам были недоступны.

Рассмотрим внимательно бесконечно удаленную точку X. Как мы уже отмечали, она является общей для прямых b, PS и QR. Но точки Х и Y однозначно определяют еще одну прямую — назовем ее условно h, поскольку, разумеется, она есть не что иное, как линия горизонта, в разных точках которого, собственно, и встречаются все параллельные прямые.
У квадрата в обычной евклидовой плоскости такие точки пересечения по понятным причинам отсутствуют. Но мы-то с вами не в евклидовой плоскости, а в проективной! А там, как мы помним, любые прямые пересекаются.
А теперь, с помощью нехитрого преобразования проектирования мы вытащим все эти бесконечно удаленные сущности поближе к реальности — все как вы любите!
Предлагаем вам для этого мысленно представить следующее: во-первых, вам надо перенестись в три измерения и представить, что вы подходите со своим смартфоном к нашему квадрату, нарисованному на полу, со стороны угла Q, и делаете примерно вот такой фотоснимок:
И вот все тайное моментально становится явным: естественным образом возникает линия горизонта, на ней точки Х и Y, и много чего  еще интересного! Но самое для нас пока важное то, что двойное отношение не изменяется при проективных преобразованиях, а это значит, что гармоническая четверка точек P, Q, T, Y остается гармонической, то есть (YT, PQ)= −1!
А также появляется много новых гармонических четверок: например, три точки X, W, Y, лежащие уже на вполне осязаемой линии горизонта, и улетевшая в результате нашего проектирования точка пересечения с горизонтом диагонали d. Вообще, каждая из диагональных точек произвольного четырехсторонника (а не только квадрата) определяет гармонический пучок прямых — и это его свойство используется как инструмент построения гармонической четверки точек:
*расположение объекта внтури кадра
И это же свойство же есть следствие одной очень глубокой теоремы проективной геометрии, утверждающей, что любой четырехсторонник есть образ квадрата под действием некоторого проективного преобразования.
В заключение, предлагаем вам в качестве упражнения отыскать все гармонические пучки прямых и все гармонические четверки точек, возникающие на двух последних рисунках..