Вступайте в наше сообщество в телеграмме, чтобы обмениваться знаниями с другими читателями лонгрида.
Комплексное умножение
II.
Начнём с самого простого – с умножения произвольного комплексного числа z = a + bi на единицу вещественную и на единицу мнимую:
Итак, теперь у нас все готово, чтобы внимательнейшим образом проанализировать то, что будет происходить с плоскостью как множеством точек, на котором введено комплексное умножение.
Посмотрим, как это выглядит на конкретных примерах.
как преобразование пространства
Комплексное
умножение
как
преобразование пространства
z ⋅ 1 = z
1
будем смотреть на комплексное число как на приказ единичному вектору, или точке с координатами (1, 0) перейти в вектор z, или точку с координатами (a, b).
На этом элементарном примере мы уже можем вовсю применить геометрический взгляд на комплексное умножение:
Но что означает такой переход как не растяжение плоскости
раз
в
с одновременным поворотом ее на угол, тангенс которого
равен
?
Очевидно, что так оно и есть.
i⋅ z = iz
2
Рассмотрим чуть внимательнее, что тут происходит:
i⋅ z = i (a + bi) = −b + ai
, у которого
, то есть число z перешло в число
вещественная и мнимая части поменялись местами, к тому же мнимая часть перешла в вещественную с противоположным знаком.
Это значит, что если тангенс угла, который z составлял с вещественной
, то у
он стал равен
осью, был равен
у которого вещественная и мнимая части поменялись местами, к тому же мнимая часть перешла в вещественную с противоположным знаком.
,
Это значит, что если тангенс угла, который z составлял
с вещественной осью, был равен
, то есть число z перешло
в число
, у которого вещественная и мнимая
части поменялись местами, к тому же мнимая часть перешла в вещественную с противоположным знаком.
, то есть
число z перешло в число
Может быть, кто-то из вас помнит из 8-го или 9-го класса школы такую штуку как признак перпендикулярности прямых: так вот это он самый и есть!
Потому что две прямые, заданные уравнениями
и
перпендикулярны в том, и только в том случае,
если
перпендикулярны в том,
и только в том случае, если
Тем, кто этот признак забыл или никогда и не знал, мы настоятельно рекомендуем самостоятельно убедиться в его справедливости прямо сейчас.
Заметка
Это небольшое упражнение важно сразу в нескольких смыслах.
Во-первых, оно заставляет нас быть внимательными и строгими в специфически математическом смысле: наверное, большинство из нас помнят, что функция y = kx действительно задает прямую на плоскости, проходящую через начало координат.
Другими словами, правда ли, что ВСЕ точки прямой, проходящей через начало координат, это точки графика функции y = kx, и наоборот – правда ли, что ВСЕ точки графика y = kx, лежат на прямой, проходящей через начало координат?
Но многие ли из вас осознают, что это не одно, а два утверждения, каждое из которых, вообще говоря, не является очевидным?
Осознаете ли вы, что это два разных вопроса, каждый из которых требует отдельного обоснования?
Сейчас мы ответим на оба:
Проведем через точки О (0, 0) и М (1, k), являющиеся точками графика функции y = kx, прямую l и отметим на ней произвольную точку N с координатами
Поскольку точку на прямой l мы выбрали произвольно, то любая точка прямой есть точка графика.
Из точек М и N опустим перпендикуляры на ось Х:
прямоугольные треугольники
и
подобны,
следовательно
и, значит, точка прямой
есть точка графика y = kx.
?
(подробно о признаках подобия и основаниях геометрии см.)
Обратно, пускай существует какая-то точка
графика, не лежащая на прямой l.
Но тогда на прямой будет лежать еще одна точка с той же абсциссой, которая (по доказанному выше) тоже принадлежит графику функции y = kx.
Это противоречит определению функции, в соответствии с которым каждому х соответствует единственный у.
?
Следовательно, любая точка графика действительно лежит на прямой l.
графика, не лежащая
на прямой l.
графика,
не лежащая на прямой l.
Это противоречит определению функции, в соответствии с которым каждому х соответствует единственный у.
Обратно, пускай существует какая-то
точка
Ну а теперь разберемся с перпендикулярностью прямых.
Утверждается, что две прямые, заданные уравнениями
и
перпендикулярны в том, и только в том случае,
если
Ну а теперь разберемся с перпендикуляр-ностью прямых.
Как и в предыдущем случае нам надо доказать два независимых утверждения:
если прямые
и
теперь мы можем смело так писать
перпендикулярны,
то
если у прямых
и
коэффициенты находятся
в отношении
то такие прямые перпендикулярны.
Предположим, что прямые перпендикулярны.
Тогда угол
и
И наоборот, если
.
то
и, следовательно, прямые перпендикулярны.
В нашем же случае перпендикулярность векторов z и iz означает, что умножение на мнимую единицу в точности соответствует повороту плоскости на угол 90 градусов.
И это отлично согласуется с тождеством
которому теперь можно придать смысл двукратного умножения вещественной единицы на единицу мнимую:
i ⋅ i ⋅ 1 = −1,
или композиции двух последовательных поворотов
комплексной плоскости, по 90 градусов каждый, или одного разворота этой плоскости на 180 градусов.
или композиции двух
последовательных поворотов комплексной плоскости, по 90 градусов каждый, или одного разворота этой плоскости на 180 градусов.
Пускай теперь нам даны два произвольных комплексных числа z = a + bi и w = c + di .
3
И раз вектора z и iz ортогональны,
Тогда zw = z ⋅ (c+di ) = c ⋅ z + d ⋅ iz.
Но это значит, что комплексное число, равное произведению z и w, есть просто векторная сумма двух ортогональных векторов z и iz, взятых с коэффициентами c и d, соответственно!
который образует вектор zw с вещественной осью, равен
то
и значит, угол
,
Тогда zw = z ⋅ (c + di ) = = c ⋅ z + d ⋅ iz.
Число z, образующее как вектор с вещественной осью угол α, будучи умноженным на число w, оказалось повернутым на угол
Давайте вдумаемся, что это опять-таки означает, с точки зрения преобразования плоскости?
то есть на угол, являющийся аргументом w.
Таким образом, обобщая свойства
комплексного умножения,
мы с уверенностью можем сказать, что умножение комплексного числа z = a + bi на комплексное число
такой, что
w = c + di есть растяжение z в |w| раз и поворот его как вектора на угол
Нам осталось лишь проверить, что |zw| = |z||w|, чтобы нами была полностью доказана следующая ключевая для всего данного курса
1
2
3
Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).
При умножении двух комплексных чисел z и w их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Теорема
По определению, модуля комплексного числа z = a + bi
Покажем, что модуль произведения равен произведению модулей |zw| = |z||w|
квадрат модуля
Следовательно,
C другой стороны,
Q.E.D.
«Чудесным образом» повороты
Домашнее задание
Но поскольку, как было показано ранее, любому линейному преобразованию пространства соответствует матрица этого преобразования, то такая матрица должна соответствовать и каждому комплексному числу.
Как выглядит эта матрица?
Вопрос
и растяжения плоскости оказалось возможным выполнять без матриц – пользуясь лишь геометрическими свойствами умножения комплексных чисел.
Как вы думаете, что из себя представляет множество всех таких комплесных чисел, модуль которых равен 1, с точки зрения на них как на команды по преобразованию плоскости?
Вопрос
Используя соображения предыдущего пункта и утверждение Главной Теоремы, получить тригонометрические тождества для синуса и косинуса двойного и тройного угла.
1
2
3
Получилось решить?
Да
Нет
Вступайте в наше сообщество в телеграмме, чтобы обмениваться знаниями с другими читателями лонгрида.
Нужна помощь?