Вступайте в наше сообщество в телеграмме, чтобы обмениваться знаниями с другими читателями лонгрида.

Кватернионное сопряжение

III.

Помните, когда мы обсуждали аффинное пространство, мы говорили, что в нем бессмысленно складывать точки, но осмысленно их вычитать?

как преобразование пространства

Илья Егорычев –
эксперт журнал Соулматс

Кватернионное

сопряжение как преобразование пространства

сопряжение как преобразование

пространства

Кватернион-

ное

сопряжение

как преобра-
зование пространства

Одной из аксиом аффинного пространства А, в частности, была такая:

1. Для любой точки

и для любого вектора

существует единственная точка

такая, что b − a = v.

Но, взгляните: ведь вычитание точек – это в то же время и прибавление к точке вектора:

Такое применение вектора к точке оказалось возможным, поскольку вектор по сути – это информация об относительном положении точки относительно любой другой точки.

Можно сказать, что вектор концептуализирует отношение между двумя точками в пространстве.

Идея же Гамильтона состояла в том, чтобы математически концептуализировать отношение между векторами в обычном трехмерном пространстве, также как обычный вектор концептуализирует отношение в пространстве между точками.

Ну, или по-другому:

он искал такую систему чисел, с помощью которых можно было бы преобразовывать пространства больших размерностей так же, как мы ранее с помощью чисел комплексных растягивали и вращали плоскость.

Здесь нужно сразу обратить внимание вот на что.

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

Если все множество комплексных чисел представляло собой некое двумерное «расширение» чисел действительных – мы даже пробовали смотреть на него как на двумерное векторное пространство над

,

на котором очень удачно было введено векторное умножение – то множество тех комплексных чисел, которыми задавались только вращения плоскости, представляли собой одномерный объект: это была единичная окружность на комплексной плоскости.

То есть, точно также, как множество сдвигов прямой само представляло из себя прямую, множество поворотов окружности образует окружность. Очевидно, что поворот окружности при этом тождественен повороту всей плоскости.

?

нам потребуется два параметра для задания оси вращения, и еще один – для угла вращения.

так как, скажем, уже только вращения трехмерного пространства, которые, по аналогии с вращением плоскости, можно отождествить с вращениями двумерной сферы, требуют для своей реализации не двух, а трех параметров:

Соответственно, если мы захотим добавить сюда еще какие-то растяжения/сжатия, то придется добавлять еще один параметр.

И первое наблюдение, которое необходимо сделать – это то, что такая аналогия не сможет быть продолжена на три измерения

Все сказанное должно наводить на мысль о том (и именно так и рассуждал Гамильтон), что подходящую систему чисел придется строить как четырехмерное пополнение действительных или двумерное пополнение комплексных чисел.

Итак, поскольку вектор полностью определяется своей длиной и направлением, то он, как мы помним, может концептуализировать положение точки относительно другой точки.

Кватренион, как сущность, претендующая на аналогичную концептуализацию положения вектора относительно другого вектора, должен содержать в себе информацию об относительной длине и об относительном направлении, или ориентации.

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

Дадим, наконец, формальное определение множества кватернионов:

где i, j, k – это три мнимые единицы, квадрат каждой из которых равен −1.

Точнее даже не так:

Вот как!

ij = k, jk = i, ki = j;

При этом, выполняются дополнительные тождества:

ik = −j, kj = −i, ji = −k.

Упражнение

Как мы уже отмечали выше, кватернионы можно задать и парой комплексных чисел, добавив всего еще одну мнимую единицу:

Проверьте самостоятельно, что при подстановке z = a + bi и w = c + di и выполнении приведенных выше тождеств, получаются эквивалентные определения.

Нужна помощь?

Обратимся теперь к рисунку.

Если мы трем мнимым единицам придадим смысл трех соответствующих векторов обычного ортонормированного базиса в пространстве, то можно очень наглядно показать геометрический смысл всех этих соотношений.

При умножении вектора j на вектор i вектор j переходит в вектор k, а при умножении же на вектор i вектора k последний переходит в −j, что, с геометрической точки зрения, очевидным образом выглядит как поворот всего пространства на 90 градусов против часовой стрелки вокруг оси, направленной вдоль вектора i.

Этим, в частности, объясняется некоммутативность такого умножения.

Умножения на остальные два вектора базиса тоже в точности согласуются с соответствующими вращениями плоскостей вокруг направленных вдоль данных векторов осей.

Ну то есть пока все как и в случае с комплексными числами, где умножение на мнимую единицу равнялось повороту на 90 градусов, а умножение на нее дважды оказывалось тождественным домножению на минус единицу, или развороту на 180 градусов – как в случае с прямой, с которой у нас все начиналось.

С точностью до того, конечно, что вместо одного центра вращения прямой или плоскости у нас теперь бесконечное, вообще говоря, множество осей вращения.

А произвольный кватернион, таким образом, распадается на так называемую скалярную, или, как ее еще иногда называют, тензорную часть, и часть векторную, или версорную.

Поиграем немного с этими словечками.

В так любимых нами терминах операторов, скаляр будет оператором, изменяющим размер (scale) того вектора, к которому он был применен – растягивая или сжимая, т. е. сообщая, одним словом, ему некоторое напряжение (tension). Поэтому его и называют тензором.

Версор, напротив, никак не влияет на размеры, но полностью отвечает за ориентацию.

Происходя от латинского глагола versare – поворачивать, наклонять, версор, он же – кватернион единичной длины, или нормы, он, скажем так, определенным образом модифицирует вектор, на который «действует» – производит его версию (version) в смысле измененной ориентации последнего (в хорошем, разумеется, смысле).

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

у любого кватерниона q = w + xi + yj + zk как элемента четырехмерного векторного пространства мы можем выделить чисто вещественную и чисто мнимую части, где последняя, в отличие от комплексных чисел, уже сама по себе является полноценным трехмерным вектором.

Возвращаясь из этих квазилингвистических дебрей в реальность, резюмируем:

у любого кватерниона

q = w + xi + yj + zk как элемента четырехмерного векторного пространства мы можем выделить чисто вещественную и чисто мнимую части, где последняя, в отличие от комплексных чисел, уже сама по себе является полноценным трехмерным вектором.

Возвращаясь из этих квазилингвистичес-ких дебрей в реальность, резюмируем:

В таких случаях говорят, что данные подпространства оказываются инвариантными относительно некоторого преобразования пространства – в данном случае, относительно преобразования сопряжения.

Это, собственно, ключевой момент, поскольку кватернионное сопряжение как оператор, действующий на все четырехмерное пространство кватернионов, как мы покажем в дальнейшем, действует, так сказать, раздельно на чисто мнимое трехмерное подпространство и на чисто вещественное.

Строго говоря, вначале хорошо бы проверить, что кватернионы, как и числа комплексные, тоже являются числами.

Итак, сложение и вычитание кватернионов производится покомпонентно, и здесь вообще не должно быть вопросов о том, элементы какого вида мы будем получать в результате такого сложения и вычитания – понятно, что того же самого.

То есть, еще раз – что это значит: нам надо убедиться, что складывая, вычитая, умножая и деля два элемента

и

замкнуто относительно

вида

При этом мы уже помним, что кватернионное умножение не коммутативно.

Но это и понятно, если, немного забегая вперед, мы каким-то образом отождествим кватернионы с вращениями сферы, или трехмерного пространства вокруг различных осей, то почти очевидно, что результат композиции двух вращений вокруг различных осей, скорее всего, будет зависеть от порядка этих вращений.

Но лучше в этом убедиться самостоятельно, покрутив в руках, скажем, футбольный мяч, и отмечая всякий раз, куда переходит некоторая выбранная на его поверхности точка.

мы получаем элемент того же вида – другими словами,

операций со всеми их стандартными свойствами типа ассоциативности, дистрибутивности умножения относительно сложения и т.п.

убеждаемся, что множество

операций со всеми

их стандартными свойствами типа ассоциативности, дистрибутивности умножения относительно сложения и т.п.

Упражнение

А вот с умножением предлагаем вам разобраться самостоятельно.

Так что проверьте – действительно ли:

Нужна помощь?

Просьба не путать с преобразованием сопряжения хотя оно так и названо именно потому, что в его конструкции участвует сопряженный кватернион

Как и в случае с комплексными числами, введем понятие кватерниона, сопряженного к данному :

называют либо операцией сопряжения кватерниона q, либо такой кватернион называют сопряженным.

_

Заметим, что

Благодаря этому последнему свойству (которое мы предлагаем вам вывести самостоятельно), можно доказать первое, ничего не перемножая руками.

чисто вещественный, а

, только если кватернион

только

если кватернион чисто мнимый.

Подумайте почему

Как и в случае комплексных чисел

правда, при этом

,

только если кватернион

если кватернион

чисто мнимый.

чисто

вещественный,

а

, только

если кватернион

Смотрите, сопряжем произведение сопряженных кватернионов и применим к нему последнее свойство:

И значит, остаться должны только парные произведения одинаковых слагаемых, то есть их квадраты.

а это означает, что

и, следовательно,

при перемножении двух скобок (w + xi + yj + zk)(w − xi − yj − zk) все слагаемые, содержащие мнимые сомножители, обязаны сократиться.

при перемножении двух скобок

(w + xi + yj + zk)(w − xi − yj − zk) все слагаемые, содержащие мнимые сомножители, обязаны сократиться.

а это означает,

что

Опять-таки, деление определим как домножение на обратный элемент по умножению, с той важной оговоркой, что домножения справа и слева будут отличаться.

При делении единицы, правда, они совпадут, поэтому сам обратный элемент по умножению для любого ненулевого кватерниона определяется однозначно как:

Опять таки, хорошо бы «руками» убедиться, что такой объект является кватернионом. Не поленитесь – сделайте это.

_

Нужна помощь?

Сразу же замечаем, что

Но самым важным тут для нас оказывается то, что такие кватернионы допускают очень изящное тригонометрическое представление:

Как мы уже отмечали, для нас большой интерес представляет

кватернионов единичной нормы, т. е. таких

для которых

подмножество

где

– это чисто вещественный кватернион

единичной нормы, а

– чисто мнимый

единичный кватернион, параллельный векторной части кватерниона u.

– это чисто вещественный

кватернион единичной нормы,

а

единичный

кватернион, параллельный векторной части кватерниона u.

кватернионов единичной нормы,

т. е. таких

кватернионов единичной

нормы, т. е. таких

– это чисто

вещественный

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

Корректность такого представления единичного кватерниона можно доказать, просто показав, что квадрат нормы данной конструкции действительно равен 1:

И все же по поводу того, откуда взялось это загадочное

:

Как мы уже не раз отмечали, любой кватернион состоит из вещественной и векторной части, и поэтому может быть записан

Поскольку

то

, и, значит,

существует такое число

что

и

.

Перепишем теперь

как

Наконец, мы видим поэтому, что любой кватернион может

.

При этом мы видим, что

– это и есть этот самый

– чисто мнимый

кватернион единичной нормы, параллельный векторной части кватерниона q.

В случае, если q – версор, получаем исходное тождество.

как

быть представлен в виде

,

и, значит, существует такое число

– чисто

мнимый

кватернион единичной нормы,

параллельный векторной части кватерниона q.

– это и есть этот

самый

что

При этом мы видим,

То есть ситуация, вообще говоря, очень напоминает комплексный случай, с той только разницей, что вместо мнимой оси у нас теперь мнимое кватернионное подпространство, у которого у самого только размерность три.

Но угол

– это, тем не менее,

как и комплексное число, составляет с вещественной осью.

тот же угол, который наш кватернион,

Теперь, произведение двух чисто мнимых кватернионов тоже обладает одним замечательным свойством.

Если рассматривать такие кватернионы как векторы трехмерного векторного подпространства

то их кватернионное произведение в общем случае представляет из себя сумму скалярного и векторного произведений.

Точнее:

Мы это все получали, когда обсуждали ортонормированный базис векторного пространства в предыдущих частях

А это, в свою очередь, означает, что когда векторы ортогональны, то их произведение равно чисто векторному произведению.

То есть, это также чисто мнимый кватернион

торчащий

перпендикулярно к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы.

Геометрический смысл этого мы уже видели – это все тот же поворот вектора

на 90 градусов против часовой стрелки вокруг оси,

, с каким-то растяжением или сжатием.

образованной вектором

Геометрический смысл этого мы уже видели –

это все тот же поворот вектора

на 90 градусов против часовой

стрелки вокруг оси,

, с каким-то

растяжением или сжатием.

перпендикулярно

к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы.

на 90 градусов против

часовой стрелки вокруг оси,

,

с каким-то растяжением или сжатием.

Если же вектора

и

параллельны,

то их произведение, напротив, будет чисто вещественным кватернионом, равным

И вот сейчас начнется самое интересное.

Введем несколько вспомогательных определений: будем называть кватернионы p и q параллельными (p||q), если параллельны их векторные (чисто мнимые) части.

Но выше мы видели, что это означает вещественность их произведения.

Видите ли вы, почему это так?

Если кватернион, отвечающий такому произведению, обозначить буквой

то условие параллельности кватернионов p и q можно

переписать как

то условие параллельности

кватернионов p и q можно

то условие параллельности

кватернионов p и q можно

Если кватернион s вещественный, то

И будем называть кватернионы p и q перпендикулярными

А это равносильно тому, что

Опять-таки, обоснуйте самостоятельно.

если ортогональны

их векторные (чисто мнимые части).

их векторные

(чисто мнимые части).

Если кватернион чисто мнимый, то

Теперь пускай

– произвольный, чисто мнимый (векторный)

кватернион, u – версор, то есть

и

Тогда

Первое слагаемое – это чисто мнимый кватернион, параллельный

Поскольку

то второе слагаемое тоже должно быть чисто мнимым

.

и более того – как результат векторного произведения

оно перпендикулярно как

, так и

Таким образом, кватернион t как векторная сумма двух мнимых кватернионов тоже мнимый, причем оба слагаемых вектора, из которых он состоит, лежат в плоскости, перпендикулярной

то второе слагаемое тоже должно быть

чисто мнимым и более того – как результат векторного

произведения

– произвольный,

чисто мнимый (векторный) кватернион,

u – версор, то есть

то второе слагаемое

тоже должно быть чисто мнимым

–

произвольный, чисто мнимый (векторный) кватернион, u – версор, то есть

оно перпендикулярно

как

Геометрический смысл такого умножения должен быть хорошо виден из рисунка: это поворот вектора

на угол

в плоскости,

перпендикулярной

Ну и наконец рассмотрим произведение

Воспользуемся векторным тождеством

и перепишем в виде

Сравнивая с предыдущим выражением

мы видим, что это просто

дальнейший поворот вектора t в том же направлении и в той же плоскости на тот же угол

И значит целиком преобразование

понятое как преобразование сопряжения, примененное к вектору

есть поворот на угол

вокруг вектора u:

перпендикуляр-
ной

Ну и все. Теперь посмотрим, как такое сопряжение подействует на произвольный мнимый кватернион h, или на произвольный вектор трехмерного подпространства кватернионов.

Представим h как сумму векторов, один из которых параллелен u, а другой ему перпендикулярен:

Тогда

Но что из себя представляет второе слагаемое, мы уже хорошо знаем – это вектор r как результат поворота

v

на угол

Над первым же можно немного поколдовать – заметить, например, что, поскольку w||u, то

где α – это просто какое-то действительное число, скаляр,

– единичный трехмерный

а

(мнимый) вектор, причем

Ну раз так, то перепишем:

Перекинуть u и

местами мы имеем право, так как

как мы помним, в таком случае произведение вещественно, поскольку таковым является скалярное произведение, а последнее, в свою очередь, коммутативно.

А, значит, коммутативно и произведение u и

где α – это просто какое-то

действительное число, скаляр,

местами мы имеем право,

так как

как мы помним, в таком случае

произведение вещественно, поскольку таковым является скалярное произведение, а последнее, в свою очередь, коммутативно.

Это, важный, вообще говоря, момент: тем самым мы сейчас показали, что данное преобразование сопряжения действует на вещественное подпространство кватернионов тождественно!

Чего при обычном умножении, разумеется, не происходит – да и с чего бы?

Итак,

что геометрически

h вокруг

на угол

видится как вращение вектора

Данное преобразование сопряжения действует на все без исключения мнимые кватернионы, включая три мнимые единицы, которые очень удобно мыслить как ортонормированный базис обычного трехмерного пространства.

Еще раз отметим чрезвычайно тонкий с геометрической точки зрения момент:

вообще говоря,

действует на все четырехмерное пространство кватернионов, но устроено таким образом, что действует инвариантно как на трехмерное подпространство чисто мнимых кватернионов, так и на одномерное подпространство вещественных.

В результате, скажем, если одно умножение (первая часть преобразования) как-то разворачивает четырехмерное пространство, то следующее за ним умножение на сопряженный кватернион (вторая часть преобразования) продпространство мнимых кватернионов еще больше доворачивает, а вещественные возвращает на место!

Решающую роль здесь играет коммутативность кватернионного умножения в чисто вещественном случае. Только благодаря этому свойству мы получаем чистое вращение трехмерного мнимого подпространства.

То есть, еще раз: то, что видится нам как вращение в трех измерениях является, вообще говоря, гораздо более богато и сложно устроенным преобразованием пространства на единицу большей размерности!

За счет этого, используя преобразования кватернионного сопряжения единичными кватернионами, мы получаем чрезвычайно удобный инструмент для реализации всех возможных вращений трехмерного подпространства или вложенной в него двумерной сферы. Что, впрочем, одно и то же..

Ну вот как-то так…) И никаких матриц!

вообще говоря, действует на все четырехмерное пространство кватернионов, но устроено таким образом, что действует инвариантно как на трехмерное подпространство чисто мнимых кватернионов, так и на одномерное подпространство вещественных.

Домашнее задание

Причем, хорошо бы это сделать в двух вариантах: для четырехмерного векторного пространства над полем действительных чисел и для двумерного — над полем комплексных. Во втором случае, как, возможно, многие догадываются, матрица будет в два раза меньше, но элементами ее будут комплексные числа.

Хотя конечно напрашивается, напрашивается домашнее задание: написать, как будет выглядеть матрица такого преобразования.

Но если мы вспомним, что мы просто соответствующим образом изменяем взгляд

на те или иные числа и начинаем их рассматривать как «команды», то ситуация проясняется: любое вещественное число является такой командой сдвига, ну а все множество вещественных чисел может быть отождествлено с вещественной прямой. Правда, на таком множестве как множестве команд естественным образом возникает дополнительная структура — структура группы Ли, но сейчас мы не будем это обсуждать.

И точно так же множество всех комплексных чисел, модуль которых равен единице, расположено по окружности на комплексной плоскости и поэтому и как множество поворотов плоскости может быть отождествлено с самой окружностью.

Так вот последний вопрос заключается в том, чтобы понять:

Ну и совсем последнее.

какой геометрический объект в этом смысле образует множество кватернионов, которыми мы вращаем трехмерное пространство?

Вопрос

Выше мы писали: «точно также, как множество сдвигов прямой само представляло из себя прямую, множество поворотов окружности образует окружность». Возможно, даже эта фраза кого-то насторожила — не говоря уже о ее продолжении о том, что такая аналогия не продолжается на три измерения.

такие кватернионы образуют трехмерное проективное пространство, которое можно свести к трехмерной сфере, на которой каждой паре противоположных кватернионов соответствует одно и то же вращение обычного трехмерного пространства.

Подробное обоснование ожидайте в соответствующем разделе «Гида по математике», посвященном проективной геометрии.

Следите за обновлениями, выход продукта в октябре.

Вступайте в наше сообщество в телеграмме, чтобы обмениваться знаниями с другими читателями лонгрида.