Действия
с обыкновенными
и десятичными дробями
с обыкновенными
и десятичными дробями
Сущность обыкновенной дроби
Равные части —
это важно, потому что, например, в человеке тоже естественным образом можно выделить какие-то части: руки, ноги, голова, туловище, но так сразу не скажешь, что это части равные, хотя очевидно, что части.
это важно, потому что, например, в человеке тоже естественным образом можно выделить какие-то части: руки, ноги, голова, туловище, но так сразу не скажешь, что это части равные, хотя очевидно, что части.
или, вот так:
1
5
3
7
Дробь обозначает часть целого, или более обобщенно – любое целое число равных долей единицы.
Давайте поймем, что означают все эти знаки.
Мы знаем, что записывается дробь как-то вот так:
7
1
7
7
=
1
Значит, прежде всего мы должны себе помыслить нечто единое, которое мы будем называть единицей, и которое осмысленно делить на какие-то равные доли. Давайте для примера разделим на семь равных частей круг.
Поэтому мы будем говорить о величинах более-менее однородных.
Допустим, пиццу или торт мы тут разделили на семь частей и каждая часть, или доля обозначается
По смыслу произведенного нами действия понятно, что семь таких долей снова вернут нам то единое,
которое мы дробили, т. е.
которое мы дробили, т. е.
как:
Но выше мы сказали, что дробь — это любое целое число долей единицы, поэтому долей может быть и больше семи — скажем, восемь или четырнадцать. Тогда они будут обозначать части, которые больше исходного целого:
Такие дроби называют «неправильными». Ну, в том смысле, что изначально вроде бы договорились обозначать дробями часть целого, а тут у нас и сама единица — дробь, и две единицы, и единица «с хвостиком».
1
7
7
8
14
7
единицы в случае
1 и
в случае
и 2
Определение понятия
Сравнивая дроби с разными знаменателями, часто бывает трудно понять, какая из них больше. Что, например, вы можете сказать о таких величинах, как
Чтобы это точно понять, нужно подобрать какую-то единую меру (новое общее имя, или знаменатель), в терминах которой обе дроби могли бы быть представлены. Такой общей мерой является наименьшее общее кратное обоих знаменателей, а поиск такого общего кратного и принято называть «приведением к общему знаменателю».
В данном случае наименьшим общим кратным чисел 5 и 8 является число 40, то есть попросту произведение знаменателей, но часто удается подобрать число поменьше, с которым работать будет удобнее. Для этого произведение двух чисел, если получается, надо сократить на их наибольший общий делитель.
Какая из них больше?
2
5
3
8
и
Соответственно, сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей возможно только после того, как они были приведены к общему знаменателю — то есть, после того, как мы им подобрали «общее имя»
Правило
Итак:
2
5
2 × 8
5 × 8
16
40
16
40
40
15
То есть
3
8
3 × 5
8 × 5
15
40
=
=
=
=
Неудивительно, что понять это «на глаз» практически невозможно.
2
5
1
40
всего
больше, чем
3
8
>
на
Определение понятия
Почему именно доля
1
40
является общей мерой как
Ну, потому что нам нужна такая доля, которая уложится целое число раз одновременно
т. е. обе эти дроби будут ее кратными.
1
5
1
8
и в
и в
пятых, так и восьмых долей?
мерой как пятых, так и восьмых долей?
является общей мерой
является общей
Вопрос действительно похож на исходный, только «вывернутый наизнанку».
a < b
, то
если
b
a,
a
1
1
b
В частности, если в целых числах
кратно
то дробь
будет кратна
Этот вопрос эквивалентен другому, касающемуся уже не дробных, а целых величин. Какова должна быть наименьшая длина отрезка, чтобы в нем одновременно уложились целое число раз отрезки длиной 5 и 8 единиц?
Это, по сути, так и есть. Чтобы это лучше увидеть, надо вспомнить или заново понять одно из основных свойств неравенств:
>
a
1
b
1
Определение понятия
Умножение и деление обыкновенных дробей
Хоть это и может показаться странным, но умножать и делить обыкновенные дроби проще, чем их складывать или вычитать. По крайней мере, вопрос о поиске общей меры здесь уже не стоит.
Умножение и деление дробей не будут вызывать никаких проблем, если станет понятна сущность этих действий на примере целых чисел.
Умножение числа 5 на число 3 — это по сути приказ утроить число 5, или взять его три раза.
В точности по этой же аналогии умножить
мы делим его на семь равных частей и берем одну такую часть (ну или две такие части, если бы умножить нужно
3
5
7
1
дробь
на дробь
это приказ взять число
3
5
одну седьмую раза.
3
5
как новое целое,
Это означает, что, мысля
2
7
То есть умножить
).
на
1
7
какое-либо
равносильно делению этого числа на семь.
теперь
было
число на
Определение понятия
Вспоминая, что горизонтальная черта в записи обыкновенной дроби, вообще говоря, означает деление, мы просто должны увеличить знаменатель в соответствующее число раз.
5
1
7
5
7
5
7
3
5
1
7
3
5
7
3
5 × 7
3
3
35
5
7
2
3
5
1
7
× 2
3
35
× 2
6
35
×
×
×
×
=
=
=
=
=
=
=
=
(
)
Умножая дробь на дробь, мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.
Обобщим наши рассуждения в правило:
Точно так же мы можем теперь поступить, сведя деление к вычитанию.
Возможно, это и не сразу понятно, но вопрос о делении мы можем заменить вопросом о том, сколько раз делитель содержится в делимом.
То есть, когда мы делим 8 на 2, то мы не только рассекаем величину в 8 единиц надвое, но и смотрим, сколько раз двойка укладывается в восьми.
Например, вычитая из восьми двойку, мы насчитаем ровно 4 таких вычитания.
Есть даже алгоритмы деления, состоящие из модуля вычитания и счетчика числа раз, которое такое вычитание может быть выполнено в целых числах.
Теперь зададимся точно таким же вопросом, когда нас просят разделить дробь на дробь.
Допустим, нам нужно
3
5
разделить на
1
7
сколько раз
3
5
содержится в
3
5
1
7
7
1
это ответ на вопрос –
Точно так же мы можем теперь поступить, сведя деление к вычитанию.
Правда, оперировать исходными величинами не совсем удобно. А удобно увеличить уменьшаемое и вычитаемое
и есть количество единиц, в ней содержащееся!
3
5
Тогда вопрос сведется к тому, сколько единиц содержится
, увеличенной всемеро,
3
5
7
5
21
т. е.
21
5
Но дробь
21
5
Поэтому ответом
×
=
в
и будет:
в
3
5
1
7
× 7
=
3 × 7
5
1.
в одно и то же число раз: в семь.
Правда, оперировать исходными величинами не совсем удобно. А удобно увеличить уменьшаемое и вычитаемое в одно и то же число раз: в семь.
Отсюда следует важное правило деления дроби на дробь:
Чтобы разделить одну дробь на вторую дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую.
Почему деля,
3
5
нужно было просто умножить
1
7
на
мы показали выше: тем самым мы ответили, сколько раз
3
5
1
7
содержится в
3
5
21
5
раза.
Но, наверное, также понятно, что
2
7
будет содержаться в
3
5
в два раза меньше, чем
1
7
То есть,
Итак,
21
5
2
21
5
2
21
10
×
=
=
5
3
2
7
=
3
5
7
2
×
21
10
=
на семь,
мы показали выше:
тем самым мы ответили, сколько раз
,
Определение понятия
Определение понятия
Египетские дроби:
перевод в десятичную форму
перевод в десятичную форму
И даже сейчас египетской дробью называют числа, представимые в виде суммы вида:
Известно, что математики в Древнем Египте использовали почти исключительно дроби с единицей в числителе.
2
3
3
4
1
3
1
4
1
5
и т п.
и
+
+
Исключения составляли лишь
Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби.
Любопытно, что такое представление оказывается оптимальным в некоторых важных практических смыслах.
Например, если нам нужно разделить поровну 13 тортов на 12 человек, то раздать каждому по торту, а последний торт разрезать на 12 равных частей, во-первых, неудобно, а во-вторых — может даже технически оказаться невыполнимым. Торт начнет крошиться, разваливаться и, таким образом, не желать делиться так мелко.
оказывается оптимальным с точки зрения относительного равенства кусков, которые получит каждый.
13
12
1
2
1
3
1
4
=
+
+
в виде египетской дроби
13
12
Так вот оказывается, что представление числа
Так вот оказывается,
что представление числа
числа
что представление
Продолжая разговор об удобстве и оптимальности представления тех или иных величин, нельзя не сказать о десятичной форме записи дробей.
Сколько при этом тортов нужно будет разрезать пополам, сколько – на три, а сколько – на четыре части?
– это 0,75 в десятичном представлении,
3
4
8
10
Скажем, те же
7
8
Мы настолько привыкли к десятичным дробям, что даже не задумываемся, что 0,875 тоже означает сумму, а именно:
7
100
1000
5
+
+
а
0,875 =
= 0,875
В чем смысл такого очевидного на первый взгляд усложнения?
Дело в том, что десятичная форма записи, как и до боли знакомая нам запись обычных целых чисел, является позиционной. То есть, значение цифры определяется тем местом, на котором она стоит в записи числа.
– это тоже, вообще говоря, сумма.:
пятерка – число единиц
365 = 3 × 100 + 6 × 10 + 5 × 1
А если еще более формально, то:
365
тройка обозначает число сотен
3
5
= 3 × 10² + 6 × 101 + 5 × 100
6
вообще говоря, сумма.:
– это тоже,
Мы настолько к этому привыкли, что не замечаем всей той математики и всех тех условностей, которые скрыты за такой формой записи числа — настолько она удобна. И десятичная форма записи дробей есть ее продолжение, или распространение и на дробную часть числа.
То есть, например:
2
10
4
100
1000
2
10000
5
365,2425 = 300 + 60 + 5 +
= 3 × 10² + 6 × 101 + 5 × 100 + 2 × 10-1 + 4 × 10-2 + 2 × 10-3 + 5 × 10-1
+
+
+
=
Удобство такой записи, прежде всего, в том, что теперь мы и дроби можем складывать и умножать «в столбик», делить «уголком», т. е. применять к ним алгоритмы, которые иначе были бы невозможны (за всеми этими «столбиками» и «уголками» тоже вообще-то стоит математика — это значит, что кто-то когда-то все это придумал, обосновал и строго доказал корректность применения каждой из этих манипуляций).
Чтобы, например, сложить
1
2
3
4
7
8
нам нужно приводить их к общему знаменателю, тогда как
+
+
0.5
0.75
0.875
+
2.125
мы получаем почти не задумываясь, действуя механически.
+
Условия перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную форму
Но иногда могут возникать сложности – как, например,
Подробно об этом мы говорим в видео, а здесь мы лишь кратко еще раз скажем о том, как должен выглядеть знаменатель дроби, чтобы она могла быть представлена в виде конечной десятичной.
Что вообще такое этот перевод?
Как и в случае с египетскими дробями, когда нужно было найти представление числа в виде суммы дробей с единицей в числителе, мы сейчас также ищем представление числа в виде суммы дробей, но только со степенью десятки в знаменателе.
1
2
3
4
1
1
+
+
точнее приобретает вид так называемой бесконечной периодической дроби 0,(3) или 0,3333...
1
3
Помните, мы записывали
То есть, слева стоит та же сумма, только приведенная к общему знаменателю, который тут равен 1000, или 103.
8
10
7
100
1000
5
+
+
не желает переводиться в десятичную форму,
в случае с суммированием
0,875 =
можно будет записать в виде конечной десятичной дроби, если существует такая степень десятки, которая кратна знаменателю n. Но это возможно только в том случае, когда знаменатель имеет вид
Правило
n=2l×5k
где k и l- натуральные степени.
m
n
Значит, дробь
А вот знаменатель дроби
Если знаменатель будет содержать какие-то иные простые сомножители, то мы никогда не приведем его к виду степени
97
400
имеет требуемый вид,
1
3
десятки – что и происходит, скажем, в случае с дробью
400 = 202 = (4 × 5)2 = (22 × 5)2 = 24 × 52
И, значит, нам нужно домножить его на 52,
чтобы получить общий знаменатель (2 × 5)4 = 104
чтобы получить общий знаменатель (2 × 5)4 = 104
Поэтому
97
400
400
97
25
25
2425
10000
0,2425
×
=
=
=
поскольку
О том, почему мы обязательно столкнемся с циклом при переходе к десятичной форме записи, подробно разобрано в видео.
m
n
n = 2l × 5k
— во всех остальных случаях мы получим бесконечную периодическую десятичную дробь.
конечной десятичной дроби, только если ее знаменатель
Итак, обыкновенная дробь
записывается в виде
имеет вид
.
Журнал развивается и регулярно пополняется новыми материалами.
x + 1
x, y
010100
Подписывайтесь и знакомьтесь с ними первыми!
