Действия
с обыкновенными
и десятичными дробями
Сущность обыкновенной дроби
Равные части — 
это важно, потому что, например, в человеке тоже естественным образом можно выделить какие-то части: руки, ноги, голова, туловище, но так сразу не скажешь, что это части равные, хотя очевидно, что части.
или, вот так:
1
5
3
7
Дробь обозначает часть целого, или более обобщенно – любое целое число равных долей единицы.
Давайте поймем, что означают все эти знаки.
Мы знаем, что записывается дробь как-то вот так:
7
1
7
7
=
1
Значит, прежде всего мы должны себе помыслить нечто единое, которое мы будем называть единицей, и которое осмысленно делить на какие-то равные доли. Давайте для примера разделим на семь равных частей круг.
Поэтому мы будем говорить о величинах более-менее однородных.
Допустим, пиццу или торт мы тут разделили на семь частей и каждая часть, или доля обозначается
По смыслу произведенного нами действия понятно, что семь таких долей снова вернут нам то единое,

которое мы дробили, т. е.
как:
Но выше мы сказали, что дробь — это любое целое число долей единицы, поэтому долей может быть и больше семи — скажем, восемь или четырнадцать. Тогда они будут обозначать части, которые больше исходного целого:
Такие дроби называют «неправильными». Ну, в том смысле, что изначально вроде бы договорились обозначать дробями часть целого, а тут у нас и сама единица — дробь, и две единицы, и единица «с хвостиком».
1
7
7
8
14
7
единицы в случае
1 и
в случае
и 2
Определение понятия
Сравнивая дроби с разными знаменателями, часто бывает трудно понять, какая из них больше. Что, например, вы можете сказать о таких величинах, как
Чтобы это точно понять, нужно подобрать какую-то единую меру (новое общее имя, или знаменатель), в терминах которой обе дроби могли бы быть представлены. Такой общей мерой является наименьшее общее кратное обоих знаменателей, а поиск такого общего кратного и принято называть «приведением к общему знаменателю».
В данном случае наименьшим общим кратным чисел 5 и 8 является число 40, то есть попросту произведение знаменателей, но часто удается подобрать число поменьше, с которым работать будет удобнее. Для этого произведение двух чисел, если получается, надо сократить на их наибольший общий делитель.


Какая из них больше?
2
5
3
8
и
Соответственно, сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей возможно только после того, как они были приведены к общему знаменателю — то есть, после того, как мы им подобрали «общее имя»
Правило
Итак:
2
5
2 × 8
5 × 8
16
40
16
40
40
15
То есть
3
8
3 × 5
8 × 5
15
40
=
=
=
=
Неудивительно, что понять это «на глаз» практически невозможно.
2
5
1
40
всего
больше, чем
3
8
>
на
Определение понятия
Почему именно доля
1
40
является общей мерой как
Ну, потому что нам нужна такая доля, которая уложится целое число раз одновременно
т. е. обе эти дроби будут ее кратными.
1
5
1
8
и в
и в
пятых, так и восьмых долей?
мерой как пятых, так и восьмых долей?
является общей мерой
является общей
Вопрос действительно похож на исходный, только «вывернутый наизнанку».
a < b
, то
если
b
a,
a
1
1
b
В частности, если в целых числах
кратно
то дробь
будет кратна
Этот вопрос эквивалентен другому, касающемуся уже не дробных, а целых величин. Какова должна быть наименьшая длина отрезка, чтобы в нем одновременно уложились целое число раз отрезки длиной 5 и 8 единиц?
Это, по сути, так и есть. Чтобы это лучше увидеть, надо вспомнить или заново понять одно из основных свойств неравенств:
>
a
1
b
1
Определение понятия
Умножение и деление обыкновенных дробей
Хоть это и может показаться странным, но умножать и делить обыкновенные дроби проще, чем их складывать или вычитать. По крайней мере, вопрос о поиске общей меры здесь уже не стоит.
Умножение и деление дробей не будут вызывать никаких проблем, если станет понятна сущность этих действий на примере целых чисел.
Умножение числа 5 на число 3 — это по сути приказ утроить число 5, или взять его три раза.
В точности по этой же аналогии умножить
мы делим его на семь равных частей и берем одну такую часть (ну или две такие части, если бы умножить нужно
3
5
7
1
дробь
на дробь
это приказ взять число
3
5
одну седьмую раза.
3
5
как новое целое,
Это означает, что, мысля
2
7
То есть умножить
).
на
1
7
какое-либо
равносильно делению этого числа на семь.
теперь
было
число на
Определение понятия
Вспоминая, что горизонтальная черта в записи обыкновенной дроби, вообще говоря, означает деление, мы просто должны увеличить знаменатель в соответствующее число раз.
5
1
7
5
7
5
7
3
5
1
7
3
5
7
3
5 × 7
3
3
35
5
7
2
3
5
1
7
× 2
3
35
× 2
6
35
×
×
×
×
=
=
=
=
=
=
=
=
(
)
Умножая дробь на дробь, мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.
Обобщим наши рассуждения в правило:
Точно так же мы можем теперь поступить, сведя деление к вычитанию.
Возможно, это и не сразу понятно, но вопрос о делении мы можем заменить вопросом о том, сколько раз делитель содержится в делимом.
То есть, когда мы делим 8 на 2, то мы не только рассекаем величину в 8 единиц надвое, но и смотрим, сколько раз двойка укладывается в восьми.
Например, вычитая из восьми двойку, мы насчитаем ровно 4 таких вычитания.
Есть даже алгоритмы деления, состоящие из модуля вычитания и счетчика числа раз, которое такое вычитание может быть выполнено в целых числах.
Теперь зададимся точно таким же вопросом, когда нас просят разделить дробь на дробь.
Допустим, нам нужно
3
5
разделить на
1
7
сколько раз
3
5
содержится в
3
5
1
7
7
1
это ответ на вопрос –
Точно так же мы можем теперь поступить, сведя деление к вычитанию.
Правда, оперировать исходными величинами не совсем удобно. А удобно увеличить уменьшаемое и вычитаемое
и есть количество единиц, в ней содержащееся!
3
5
Тогда вопрос сведется к тому, сколько единиц содержится
, увеличенной всемеро,
3
5
7
5
21
т. е.
21
5
Но дробь
21
5
Поэтому ответом
×
=
в
и будет:
в
3
5
1
7
× 7
=
3 × 7
5
1.
в одно и то же число раз: в семь.
Правда, оперировать исходными величинами не совсем удобно. А удобно увеличить уменьшаемое и вычитаемое в одно и то же число раз: в семь.
Отсюда следует важное правило деления дроби на дробь:
Чтобы разделить одну дробь на вторую дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую.
Почему деля,
3
5
нужно было просто умножить
1
7
на
мы показали выше: тем самым мы ответили, сколько раз
3
5
1
7
содержится в
3
5
21
5
раза.
Но, наверное, также понятно, что
2
7
будет содержаться в
3
5
в два раза меньше, чем
1
7
То есть,
Итак,
21
5
2
21
5
2
21
10
×
=
=
5
3
2
7
=
3
5
7
2
×
21
10
=
на семь,
мы показали выше:
тем самым мы ответили, сколько раз
,
Определение понятия
Определение понятия
Египетские дроби:
перевод в десятичную форму
И даже сейчас египетской дробью называют числа, представимые в виде суммы вида:
Известно, что математики в Древнем Египте использовали почти исключительно дроби с единицей в числителе.
2
3
3
4
1
3
1
4
1
5
и т п.
и
+
+
Исключения составляли лишь
Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби.
Любопытно, что такое представление оказывается оптимальным в некоторых важных практических смыслах.
Например, если нам нужно разделить поровну 13 тортов на 12 человек, то раздать каждому по торту, а последний торт разрезать на 12 равных частей, во-первых, неудобно, а во-вторых — может даже технически оказаться невыполнимым. Торт начнет крошиться, разваливаться и, таким образом, не желать делиться так мелко.
оказывается оптимальным с точки зрения относительного равенства кусков, которые получит каждый.
13
12
1
2
1
3
1
4
=
+
+
в виде египетской дроби
13