В 4 веке до н.э. Евклид занялся обработкой
и упорядочением результатов работ древнегреческих математиков. Его сочинение «Начала» считалось настолько совершенным, что в момент перестали переписывать другие аналогичные труды.

Первая книга содержит «определения», как их называет Евклид:

После даются постулаты — аксиомы, касающиеся именно геометрии:

Следующие за постулатами «аксиомы» — это утверждения самого общего характера.

Так как работа Евклида охватывает всю математику того времени, то они применимы как в геометрии, так и в алгебре, и в математическом анализе.

Начальные сведения, изложенные Евклидом, — первый прорыв в структуризации математических знаний. Сейчас они больше похожи на свободно-философское повествование, но именно на них опирались все последующие аксиоматики

В 19 веке немецкий математик Давид Гильберт публикует свой вариант изложения геометрических аксиом в работе «Основания геометрии»

Он вводит неопределяемые понятия:

Сущность данных понятий определяется только аксиомами, в которых они участвуют.

Всего 20 аксиом. Аксиомы поделены на блоки. Можно также встретить деление блоков на линейные

не принципиально: все, что работает в одномерном мире (на отрезках) работает и в двухмерном,
так же как и все, что работает на плоскости, работает и в пространстве. Рассмотрим на данном этапе только двухмерную часть аксиом Гильберта — планиметрическую их часть.

, планиметрические

и стереометрические

,

Чтобы убедиться в понимании всех аксиом, попробуйте сами проводить аналогии между аксиомами Гильберта и Евклида

но это деление

Аксиомы принадлежности, характеризующие понятие «лежать»
и «содержать»

Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой

Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки

Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки

Итак, аксиомы конгруэнтности:

Евклид в своих доказательствах пользуется основным, но не введенным понятием «наложение». Ему и эквивалентен этот пункт. В «Началах» наложение используется для доказательства первого признака равенства треугольников, а у Гильберта он частично вынесен в аксиому.

Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А'B' и B'C' — два отрезка той же прямой, или другой прямой а', также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'B', а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B'C', то отрезок АС конгруэнтен отрезку А'C'.

Если отрезки А'B' и А'B' конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.

Если А и В— две точки на прямой а, А' — точка на той же прямой или на другой прямой а', то по данную от точки А' сторону прямой а' найдется, и притом только одна, точка В' такая, что отрезок А'B' конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.

Если даны угол ∠ABC в плоскости а и луч B'C' в плоскости а', тогда в плоскости a' существует ровно один луч B'D по определённую сторону от B'C' (и соответственно второй луч B'Eпо другую сторону от B'C'), такой, что ∠DB'C' ≅ ∠ABC (и соответственно ∠EB'C' ≅ ∠ABC).
Следствие: Каждый угол конгруэнтен сам себе.

Если для двух треугольников ABC
и A'B'C' имеют место конгруэнции:
AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', ∠BAC  ≅ ∠B'A'C',
то всегда имеют место и конгруэнции: ∠ ABC ≅ ∠ A'B'C', ∠ACB ≅ ∠A'C'B'.

Пусть a есть произвольная прямая и A — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, можно провести не более одной прямой, проходящей через A
и не пересекающей a.

Аксиомы непрерывности

Пусть расстояние от Ахиллеса до черепахи изначально 100 метров. Скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости черепахи, поэтому  когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха сдвинется от него на 10 метров. Когда Ахиллес преодолеет эти 10 метров, черепаха будет от него в 1 метре. После 1 метра, Ахиллеса и черепаху будут разделять 10 см. Всякий раз когда Ахиллес будет «догонять» черепаху, черепаха будет от него удаляется и так до бесконечности.

Будь такое правдой, любое движение было бы невозможно — ни пошевелить рукой, ни моргнуть, ведь расстояние между точками A и B было бы непреодолимо. Очевидно, что рассуждение ошибочно. Делаем выводы — нельзя бесконечно делить пространство — мы упираемся в определенную длину. Об этой длине и идет речь в аксиоме Архимеда. О том, что отложив достаточное число раз меньший из двух заданных отрезков, можно покрыть больший из них.

Что это и зачем они нужны. Евклид не обозначил эти аксиомы в своей работе, данные факты включил в аксиоматику уже Гильберт, поэтому разберемся и с обоснованиями их появления — разного рода парадоксами

Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе

Аксиома Архимеда Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A1,…,An на AB таких, что: AjAj+1 ≅ CD, 0 <= j < n, A0 совпадает с A, и B лежит между A и An

«Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда.

П.К.Рашевский

»

«

Это сейчас мы пониманием, что опираться только на умозрительную часть нельзя, бездумно применять наложение некорректно. В разных точках Земли разное ускорение свободного падения. А расстояние между объектами (ближе к геометрии — точками) по закону всемирного тяготения определяется через него.

Мы подметили некоторое количество неточностей Евклида. Причина их наличия — ограниченность знаний умозрительной частью. Он и не мог знать о мире столько, сколько сейчас знаем мы. Евклид превращал физику в геометрию, а для достаточного эксперимента не было возможностей.

То есть мы не можем контролировать расстояния, углы, равенство фигур для наложения (основного, но не введенного Евклидом понятия) в разных точках Земли. Расстояния для каждого места пространства со своим g меряются экспериментально. Для античности аксиомы действительно были совершенны. Когда мы знаем больше — мы совершенствуем дальше.

Аксиомы для площади:

Площадь — число, показывающее сколько раз единичный квадрат укладывается в данную фигуру.
В чем будет измеряться этот единичный квадрат: в метрах, километрах, тараканах - не важно, главное,чтобы аксиомы выполнялись.

2. Формулы площадей фигур

Если взять параллелограмм — четырехугольник противоположные стороны которого равны и параллельны, то его площадь будет равна S = ah, где h — высота — отрезок, из выбранной вершины, образующий с выбранным основанием A угол 90°, при перемещении «отсеченного треугольника» к «неровной стороне» снова получится прямоугольник площадь которого — длина основания на высоту

Если поделить параллелограмм на 2 одинаковых треугольника, то площадь каждого будет равна половине длины основания на высоту.

Зная это, мы можем доказать одну теорему. Она не именная, но именно греки любили отмечать на сторонах угла произвольные точки, двигать их и искать закономерности, поэту в дальнейшей будем называть ее греческой.

3. Греческая теорема

Мы ввели понятие, разобрались с аксиомами. Теперь посмотри на доказательства свойств конкретных фигур.

Возьмем 2 треугольника: Δ ABC и Δ А₁B₁C₁ , в которых ∠ A и ∠ A₁ конгруэнтны. Докажем, что их площади относятся как стороны, между которыми заключены конгруэнтные углы.

Прямоугольник

Параллелограмм

Треугольник

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания

Доказательство факта, что S квадрата = a², относится больше к мат.анализу, поэтому в рамках этого повествования не будем его рассматривать

Понятно, что конгруэнция, иначе равенство, возможно
не только между элементами фигур, но и между самими фигурами. На примере треугольников для этого необходима конгруэнция 9 элементов: 3 вершин, 3 лучей
и 3 отрезков.

Между фигурами также возможно и другое отношение друг к другу – подобие. Подобие треугольников определяется как конгруэнция углов
и пропорциональность отрезков, то есть необходимо выполнение 6 условий.

Число «требований» для подобия можно уменьшить за счет введения признаков.

Что интересно, подобные треугольники, соответственные стороны которых равны (их отношение -- единица) -- равные

Пусть ABC и Δ А₁B₁C₁ — треугольники, у которых ∠ A ≅ ∠ A₁, ∠ B ≅ ∠ B₁.

Тогда и ∠ C ≅ ∠ C₁ по теореме о сумме углов треугольника. По греческой теореме так как ∠ A = ∠ A₁ , а ∠ C = ∠C₁ , то выполняются следующие равенства:

Подобие по двум углам

Из них следует, что

Аналогично, так как ∠ А = ∠ А₁ , а ∠ В = ∠ B₁ , то

Итак, стороны треугольников ABC и A₁B₁C₁ пропорциональны, а соответственные углы равны, значит из равенства двух соответственных углов двух треугольников следует их подобие.

Объединив его с греческой теоремой

получим равенство 3х углов и пропорциональность 3х сторон.

,

Равенство по стороне и двум прилежащим к ней углам

Подобие по двум сторонам и углу между ними

Вернемся к 2 пункту аксиом конгруэнтности: Если для двух треугольников ABC и A₁ B₁C₁ имеют место конгруэнции: AB≅A₁B₁, AC≅A₁C₁, ∠BAC ≅ ∠B₁A₁C₁, то всегда имеют место и конгруэнции: ∠ABC ≅ ∠A₁ B₁C₁, ∠ACB ≅ ∠A₁ C₁B₁.

Проведем биссектрису BK – отрезок из точки B, делящий угол ABC пополам. По двум сторонам и углу между ними полученный треугольники будут равны, значит в равнобедренном треугольнике (треугольник 2 стороны которого равны, а третья называется основанием) углы при основании равны.

Дано: Δ ABC, AB=BC.
Докажем, что ∠ BAC = ∠ BCA

В следующем признаке предварительно равны лишь 3 стороны. Из них нужно получить равенство углов. На самом деле, доказав, что равна хотя бы одна пара углов, мы сведем к уже доказанному выше признаку.

Дано:
A₁C₁=AC, CB=C₁B₁, AB=A₁B₁.

Достаточно доказать:
∠ A₁C₁B₁ = ∠ ACB

Луч CC₁ проходит внутри угла A₁C₁B₁.

По разные стороны от CC₁ равнобедренные треугольники AСС₁ и CBC₁. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Это утверждение доказано выше. Из аксиом сумма равных равна, значит углы C и С₁ равны.

Луч CC₁ совпадает с одной из сторон этого угла. Тогда есть только один равнобедренный треугольник и в нем углы при основании равны

Луч CC₁ проходит вне угла A₁C₁B₁. В этом случае оба равнобедренных треугольника по одну сторону от прямой CC₁, а равные углы ACC₁ и AC₁C складываются из вычитаний из равных элементов равные

Признак равенства треугольников по трем сторонам

Нам дано

Докажем, что Δ ABC ~ A₁B₁C₁ Учитывая признак подобия по двум сторонам и углу достаточно доказать, что угол А равен углу А₁ . Рассмотрим Δ ABC₂ , у которого ∠1= ∠ A₁ , ∠2 = ∠B₁. Треугольники ABC₂ и A₁ B₁ C₁ подобны по 1 признаку подобия треугольников, поэтому

Cравнив эти равенства с исходными, получаем BC=BC₂ , CA=C₂ A. Треугольники ABC и ABC₂ равны по 3м сторонам. Отсюда следует что ∠ А = ∠ 1, а так как ∠ 1 = ∠ A₁ , то теорема доказана.

Признак подобия по трем сторонам

Рассмотрим две прямые а и b, которые пересекает в двух точках третья прямая с. Прямая с называется секущей
по отношению к прямым а и b.

При пересечении прямых а и b секущей c образуется восемь углов, которые обозначены цифрами на рисунке ниже

Некоторые пары из этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Накрест лежащие углы
при пересечении двух прямых секущей равны

Докажем, что при этом условии две прямые, пересеченные секущей, будут параллельны

Предположим, что углы 1 и 2 равны 90°, т.е. эти углы прямые, получим 2 пары параллельных прямых: а и АВ, b и АВ, следовательно, а параллельна b.

Предположим, что углы 1 и 2 —
не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН (прямую составляющую с другой прямой угол 90°) к прямой а и продолжим
его до пересечения с прямой b, точку пересечения ОН с прямой b обозначим Н₁.

Получим 2 равных треугольника ОНА и ОН1В по равным элементам 3 и 4, 1
и 2, ОВ и ОА, АН и Н1В

Получаем, НН1 перпендикулярна а
и НН1 перпендикулярна b, значит,
а параллельна b

Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Предположим, что углы 1 и 2 не равны друг другу. Отложим от луча АВ угол РАВ, равный углу 2, так, чтобы углы РАВ и 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых АР и b секущей АВ.

По построению накрест лежащие углы РАВ и 2 равны, значит АР параллельна b (по признаку параллельности двух прямых). То есть мы получили,
что через точку А проходят две прямые а и АР, параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно, и угол 1 равен углу 2. Что и требовалось доказать.

Вернемся к теореме о сумме углов треугольника

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Откладывают в геометрии однозначно, используя циркуль и линейку. Построение разности двух отрезков и их суммы не вызывает труда. Из одной и той же точки откладывают длины двух отрезков по разные «стороны» от этой точки, чтобы получить сумму. И по одну сторону, чтобы получить разность.

Если мы можем складывать и вычитать, можем ли найти произведение?

На выбранной прямой отложим последовательно единичный отрезок OA, отрезок AB длины n и отрезок BC длины m

Теперь проведем прямую через точку A, пересекающую другую сторону угла в точке P. Проведем параллельную ей, пусть она пересекает другую сторону угла в точке Q.

Теперь проведем прямую через точки P и B. Если построить прямую параллельную PB, то она пересечет начальную прямую в точке D, и отрезок OD, будет равен m ∙ n

Можем и сейчас разберем как.

Для начала докажем вспомогательную теорему.

У нас есть ∠ POC, пересеченный двумя параллельными прямыми PA и QB. Cоответственные углы при параллельных прямых равны, значит треугольники POA и QAB подобны по двум углам. Значит, по определению подобия:

Убедимся, что это построение корректное

или иначе OP ∙ OB = OQ ∙ OA. Но OA = 1, поэтому OP ∙ OB = OQ

Аналогично для параллельных прямых PC и QD:

Подставим прошлое равенство
OP ∙ OD = OP ∙ OB ∙ OC.
OP сокращается и получается, длина отрезка OD равна произведению OB и OC

На самом деле вышеуказанная теорема используется часто, а потому закрепила за собой название «Теорема о пропорциональных отрезках»