Введение
в геометрию. Планиметрия
1. Вклад Евклида
В 4 веке до н.э. Евклид занялся обработкой
и упорядочением результатов работ древнегреческих математиков. Его сочинение «Начала» считалось настолько совершенным, что в момент перестали переписывать другие аналогичные труды.
I. Начальные сведения
Линия — длина без ширины
2
Края же линии — точки
3
Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину
5
Края же поверхности — линии
6
Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях
7
1
Точка есть то, что не имеет частей
4
Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках
Первая книга содержит «определения», как их называет Евклид:
Каждую прямую можно неопределенно продолжить
2
От любого центра можно описать окружность любого радиуса
3
4
Все прямые углы равны
Всякий раз, когда прямая при пересечении
с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекаются с той стороны, с которой
эта сумма меньше двух прямых
5
1
От каждой точки до всякой точки можно провести прямую
После даются постулаты — аксиомы, касающиеся именно геометрии:
И две прямые не содержат пространства
9
И целое больше части
8
И совмещающиеся друг с другом равны между собой
7
И половины одного и того же равны между собой
6
И удвоенные одного и того же равны между собой
5
1
Равные одному и тому же равны и между собой
И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны
2
И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны
3
4
И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны
Следующие за постулатами «аксиомы» — это утверждения самого общего характера.
Так как работа Евклида охватывает всю математику того времени, то они применимы как в геометрии, так и в алгебре, и в математическом анализе.
Начальные сведения, изложенные Евклидом, — первый прорыв в структуризации математических знаний. Сейчас они больше похожи на свободно-философское повествование, но именно на них опирались все последующие аксиоматики
II. Аксиоматика Гильберта
В 19 веке немецкий математик Давид Гильберт публикует свой вариант изложения геометрических аксиом в работе «Основания геометрии»
Он вводит неопределяемые понятия:
∈ Лежать между, применимое к точкам
⊂ Содержать, применимое к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям
≅ Конгруэнтность, применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам
Сущность данных понятий определяется только аксиомами, в которых они участвуют.
Чтобы убедиться в понимании всех аксиом, попробуйте сами проводить аналогии между аксиомами Гильберта и Евклида
Всего 20 аксиом. Аксиомы поделены на блоки. Можно также встретить деление блоков на линейные
О геометрии на отрезках
не принципиально: все, что работает в одномерном мире (на отрезках) работает и в двухмерном,
так же как и все, что работает на плоскости, работает и в пространстве.
Рассмотрим на данном этапе только двухмерную часть аксиом Гильберта — планиметрическую их часть.
, планиметрические
О геометрии на плоскостях
и стереометрические
О геометрии в пространстве
,
но это деление
Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой
3
Каковы бы ни были две различные точки A и B, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки
2
Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, которой принадлежат эти точки
1
Аксиомы принадлежности, характеризующие понятие «лежать»
и «содержать»
Среди любых трёх точек, лежащих
на одной прямой, всегда одна и только одна точка лежит между двумя другими
6
Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что B лежит между Аи C, и по крайней мере одна точка D, такая что C лежит между и D
5
Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то АВ и С — различные точки указанной прямой, причём В лежит также и между С и А
4
Аксиома Паша: Пусть A, B, C — три не лежащие на одной прямой точки и a прямая в плоскости (ABC), не проходящая ни через одну из точек A, B, C; если при этом прямая a проходит через точку отрезка AB, то она непременно проходит через точку отрезка AC или точку отрезка BC
7
Аксиомы порядка. В каком порядке могут идти точки на прямой и как друг к другу относиться
По сути конгруэнтность — то же равенство. Зачем же тогда Гильберт вводит новый термин?
Один из вариантов — разноприродность числа: объекты геометрии и объекты алгебры не одно и то же. Равенство в алгебре четко определено: «Два равно двум», «Два не равно трем». Для равенства же точек, отрезков и фигур так не работает. Если в геометрии оставить ту же логику, будет «полное совпадение». Все равные предметы мы будем видеть как один: как не именуй точки, они должны будут совпадать по месту в пространстве. Но. В геометрии есть возможность «копировать» предмет и все равно считать его «равным» — чтобы избежать омонимичных терминов вводится понятие конгруэнция. Справедливо заметить, что его сложно встретить за рамками аксиом. После них заменим понятие «конгруэнция» словом «равенство».
Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А'B' и B'C' — два отрезка той же прямой, или другой прямой а', также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'B', а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B'C', то отрезок АС конгруэнтен отрезку А'C'.
10
Если отрезки А'B' и А'B' конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.
9
Если А и В— две точки на прямой а, А' — точка на той же прямой или на другой прямой а', то по данную от точки А' сторону прямой а' найдется, и притом только одна, точка В' такая, что отрезок А'B' конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА.
8
Если даны угол ABC в плоскости а и луч B'C' в плоскости а', тогда в плоскости a' существует ровно один луч B'D по определённую сторону от B'C' (и соответственно второй луч B'Eпо другую сторону от B'C'), такой, что ∠DB'C' ≅ ∠ABC (и соответственно ∠EB'C' ≅ ∠ABC).
Следствие: Каждый угол конгруэнтен сам себе.
11
Если для двух треугольников ABC
и A'B'C' имеют место конгруэнции:
AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', ∠BAC  ≅ ∠B'A'C',
то всегда имеют место и конгруэнции: ∠ ABC ≅ ∠ A'B'C', ∠ACB ≅ ∠A'C'B'.
12
Аналога 12 пункту в «Началах» Евклида не найти. За что же он отвечает?
Итак, аксиомы конгруэнтности:
Евклид в своих доказательствах пользуется основным, но не введенным понятием «наложение». Ему и эквивалентен этот пункт. В «Началах» наложение используется для доказательства первого признака равенства треугольников, а у Гильберта он частично вынесен в аксиому.
По сути конгруэнтность — то же равенство. Зачем же тогда Гильберт вводит новый термин?
Один из вариантов — разноприродность числа: объекты геометрии и объекты алгебры не одно и то же. Равенство в алгебре четко определено: «Два равно двум», «Два не равно трем». Для равенства же точек, отрезков и фигур так не работает. Если в геометрии оставить ту же логику, будет «полное совпадение». Все равные предметы мы будем видеть как один: как не именуй точки, они должны будут совпадать по месту в пространстве. Но. В геометрии есть возможность «копировать» предмет и все равно считать его «равным» — чтобы избежать омонимичных терминов вводится понятие конгруэнция. Справедливо заметить, что его сложно встретить за рамками аксиом. После них заменим понятие «конгруэнция» словом «равенство».
Пусть a есть произвольная прямая и A — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, можно провести не более одной прямой, проходящей через A
и не пересекающей a.
13
Так называемая аксиома параллельности — переработанный 5-ый постулат Евклида. Именно он отличает геометрии Лобачевского, Римана и Евклида. Евклид предлагает отличные от их возможности. Именно за него «привычную» геометрию называют Евклидовой.
Аксиома Архимеда Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A1,…,An на AB таких, что: AjAj+1 ≅ CD, 0 <= j < n, A0 совпадает с A, и B лежит между A и An
14
Про апории Зенона вы можете
еще посмотреть
в нашей микро‐статье
«Черепаха, Ахилл
и другие»

Аксиомы непрерывности
Пусть расстояние от Ахиллеса до черепахи изначально 100 метров. Скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости черепахи, поэтому  когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха сдвинется от него на 10 метров. Когда Ахиллес преодолеет эти 10 метров, черепаха будет от него в 1 метре. После 1 метра, Ахиллеса и черепаху будут разделять 10 см. Всякий раз когда Ахиллес будет «догонять» черепаху, черепаха будет от него удаляется и так до бесконечности.

Будь такое правдой, любое движение было бы невозможно — ни пошевелить рукой, ни моргнуть, ведь расстояние между точками A и B было бы непреодолимо. Очевидно, что рассуждение ошибочно. Делаем выводы — нельзя бесконечно делить пространство — мы упираемся в определенную длину. Об этой длине и идет речь в аксиоме Архимеда. О том, что отложив достаточное число раз меньший из двух заданных отрезков, можно покрыть больший из них.
Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе
Что это и зачем они нужны. Евклид не обозначил эти аксиомы в своей работе, данные факты включил в аксиоматику уже Гильберт, поэтому разберемся и с обоснованиями их появления — разного рода парадоксами
«Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда.
15
«
»
П.К.Рашевский
Гильберту удалось сконструировать аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становится совершенно прозрачной
То есть мы не можем контролировать расстояния, углы, равенство фигур для наложения (основного, но не введенного Евклидом понятия) в разных точках Земли. Расстояния для каждого места пространства со своим g меряются экспериментально. Для античности аксиомы действительно были совершенны. Когда мы знаем больше — мы совершенствуем дальше.
Это сейчас мы пониманием, что опираться только на умозрительную часть нельзя, бездумно применять наложение некорректно. В разных точках Земли разное ускорение свободного падения. А расстояние между объектами (ближе к геометрии — точками) по закону всемирного тяготения определяется через него.
Мы подметили некоторое количество неточностей Евклида. Причина их наличия — ограниченность знаний умозрительной частью. Он и не мог знать о мире столько, сколько сейчас знаем мы. Евклид превращал физику в геометрию, а для достаточного эксперимента не было возможностей.
II. Как строилась геометрия
Суть аксиоматики не в том, чтобы охватить все известные понятия, а в том, чтобы «договориться о правилах игры». Поэтому с каждым новым понятием идет новый блок аксиом, характеризующих это новое понятие или вводящих его.


Как мы уже выяснили, у самых истоков геометрия строилась на рассуждениях. А для рассуждений необходима однозначность используемых понятий. Поэтому еще одна структурно важная для понимания геометрии единица — это определения. Определения в купе с аксиомами выявляют у изучаемых объектов свойства. Путь «выявления» называют доказательством. Доказывая что-то, мы опираясь на достижения науки логики, приходим от истинного высказывания к настолько же истинному. Устанавливающиеся в ходе таких доказательств причинно-следственные связи (если ... , то ...), называют теоремами.
1. Понятие площади
Площадь аддитивна (то есть S целого равна сумме составляющих его частей)
2
Площадь неотрицательна
3
1
Площадь единичного квадрата равна 1
Доказательство факта, что S квадрата = a², относится больше к мат.анализу, поэтому в рамках этого повествования не будем его рассматривать
Аксиомы для площади:
Площадь — число, показывающее сколько раз единичный квадрат укладывается в данную фигуру.
В чем будет измеряться этот единичный квадрат: в метрах, километрах, тараканах - не важно, главное,чтобы аксиомы выполнялись.
2. Формулы площадей фигур
3. Греческая теорема
Если взять параллелограмм — четырехугольник противоположные стороны которого равны и параллельны, то его площадь будет равна S = ah, где h — высота — отрезок, из выбранной вершины, образующий с выбранным основанием A угол 90°, при перемещении «отсеченного треугольника» к «неровной стороне» снова получится прямоугольник площадь которого — длина основания на высоту
Мы ввели понятие, разобрались с аксиомами. Теперь посмотри на доказательства свойств конкретных фигур.
Если поделить параллелограмм на 2 одинаковых треугольника, то площадь каждого будет равна половине длины основания на высоту.
Зная это, мы можем доказать одну теорему. Она не именная, но именно греки любили отмечать на сторонах угла произвольные точки, двигать их и искать закономерности, поэту в дальнейшей будем называть ее греческой.
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания
Возьмем 2 треугольника: Δ ABC и Δ А₁B₁C₁ , в которых ∠ A и ∠ A₁ конгруэнтны. Докажем, что их площади относятся как стороны, между которыми заключены конгруэнтные углы.
Прямоугольник
Параллелограмм
Треугольник
III. Взаимоотношения треугольников
Понятно, что конгруэнция, иначе равенство, возможно
не только между элементами фигур, но и между самими фигурами. На примере треугольников для этого необходима конгруэнция 9 элементов: 3 вершин, 3 лучей
и 3 отрезков.

Между фигурами также возможно и другое отношение друг к другу – подобие. Подобие треугольников определяется как конгруэнция углов
и пропорциональность отрезков, то есть необходимо выполнение 6 условий.

Число «требований» для подобия можно уменьшить за счет введения признаков.

Что интересно, подобные треугольники, соответственные стороны которых равны (их отношение -- единица) -- равные
Подобие по двум углам
Равенство по стороне и двум прилежащим к ней углам
Подобие по двум сторонам и углу между ними
Пусть ABC и Δ АBC₁ — треугольники, у которых ∠ A ≅ ∠ A₁, ∠ B ≅ ∠ B₁.

Тогда и ∠ C ≅ ∠ C₁ по теореме о сумме углов треугольника. По греческой теореме так как ∠ A = ∠ A₁ , а ∠ C = ∠C₁ , то выполняются следующие равенства:
Итак, стороны треугольников ABC и A₁B₁C₁ пропорциональны, а соответственные углы равны, значит из равенства двух соответственных углов двух треугольников следует их подобие.
Из них следует, что
Аналогично, так как ∠ А = ∠ А₁ , а ∠ В = ∠ B₁ , то
Выходит из тех же соображений для равенства двух треугольников достаточно равенства двух соответственных углов и одной стороны. 2 угла — гарантируют подобие, а конгруэнция сторон — коэффициент пропорциональны = 1.
Вернемся к 2 пункту аксиом конгруэнтности: Если для двух треугольников ABC и ABC₁ имеют место конгруэнции: ABAB₁, ACAC₁, ∠BAC ≅ ∠BAC₁, то всегда имеют место и конгруэнции: ∠ABC ≅ ∠A₁ B₁C₁, ∠ACB ≅ ∠A₁ C₁B₁.
Значит, если для двух треугольников ABC и ABC₁ имеют место конгруэнции: ABAB₁, ACAC₁, ∠BAC ≅ ∠BAC₁ , то треугольники подобны.
Объединив его с греческой теоремой
получим равенство 3х углов и пропорциональность 3х сторон.
,
Проведем биссектрису BK – отрезок из точки B, делящий угол ABC пополам. По двум сторонам и углу между ними полученный треугольники будут равны, значит в равнобедренном треугольнике (треугольник 2 стороны которого равны, а третья называется основанием) углы при основании равны.
Аналогично предыдущему признаку подобия, существует признак равенства по двум сторонам и углу между ними
Дано: Δ ABC, AB=BC.
Докажем, что BAC = ∠ BCA
Равенство по двум сторонам и углу между ними
В следующем признаке предварительно равны лишь 3 стороны. Из них нужно получить равенство углов. На самом деле, доказав, что равна хотя бы одна пара углов, мы сведем к уже доказанному выше признаку.
Признак равенства треугольников по трем сторонам
Дано:
AC₁=AC, CB=CB₁, AB=AB₁.

Достаточно доказать:
ACB₁ = ACB
Совместим 2 треугольника по общей стороне. Возможны 3 случая:
Первый случай:
Луч CC₁ проходит внутри угла ACB₁.

По разные стороны от CC₁ равнобедренные треугольники AСС₁ и CBC₁. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Это утверждение доказано выше. Из аксиом сумма равных равна, значит углы C и С₁ равны.
Второй случай:
Луч CC₁ совпадает с одной из сторон этого угла. Тогда есть только один равнобедренный треугольник и в нем углы при основании равны
Третий случай:
Луч CC₁ проходит вне угла ACB₁. В этом случае оба равнобедренных треугольника по одну сторону от прямой CC₁, а равные углы ACC₁ и ACC складываются из вычитаний из равных элементов равные
Нам дано
Признак подобия по трем сторонам
Докажем, что Δ ABC ~ ABC₁ Учитывая признак подобия по двум сторонам и углу достаточно доказать, что угол А равен углу А₁ . Рассмотрим Δ ABC₂ , у которого ∠1= ∠ A₁ , ∠2 = ∠B₁. Треугольники ABC₂ и ABC₁ подобны по 1 признаку подобия треугольников, поэтому
Cравнив эти равенства с исходными, получаем BC=BC₂ , CA=CA. Треугольники ABC и ABC₂ равны по 3м сторонам. Отсюда следует что ∠ А = ∠ 1, а так как ∠ 1 = ∠ A₁ , то теорема доказана.
1. Сумма углов треугольника
Рассмотрим две прямые а и b, которые пересекает в двух точках третья прямая с. Прямая с называется секущей
по отношению к прямым а и b.
При пересечении прямых а и b секущей c образуется восемь углов, которые обозначены цифрами на рисунке ниже
Некоторые пары из этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
IV. Новые теоремы
Предположим, что углы 1 и 2 равны 90°, т.е. эти углы прямые, получим 2 пары параллельных прямых: а и АВ, b и АВ, следовательно, а параллельна b.
1 случай
Предположим, что углы 1 и 2 —
не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН (прямую составляющую с другой прямой угол 90°) к прямой а и продолжим
его до пересечения с прямой b, точку пересечения ОН с прямой b обозначим Н1.
2 случай
Получим 2 равных треугольника ОНА и ОН1В по равным элементам 3 и 4, 1
и 2, ОВ и ОА, АН и Н1В

Получаем, НН1 перпендикулярна а
и НН1 перпендикулярна b, значит,
а параллельна b

Что и требовалось доказать.

Как определить, что две прямые параллельны?
Накрест лежащие углы
при пересечении двух прямых секущей равны
Докажем, что при этом условии две прямые, пересеченные секущей, будут параллельны
Доказательство:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны
Предположим, что углы 1 и 2 не равны друг другу. Отложим от луча АВ угол РАВ, равный углу 2, так, чтобы углы РАВ и 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых АР и b секущей АВ.
По построению накрест лежащие углы РАВ и 2 равны, значит АР параллельна b (по признаку параллельности двух прямых). То есть мы получили,
что через точку А проходят две прямые а и АР, параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно, и угол 1 равен углу 2. Что и требовалось доказать.
  1. Проведем прямую параллельную одной из сторон произвольного треугольника

  2. Тогда ∠ 1=∠ 5 и ∠ 3=∠ 4 как накрест-лежащие равны как накрест-лежащие

  3. Тогда сумма углов 2,4,5 = 180°,

  4. Так как градусная величина прямой принята за 180°, то и сумма углов произвольного треугольника равна 180°
Вернемся к теореме о сумме углов треугольника
2. Теорема о пропорциональных отрезках
Откладывают в геометрии однозначно, используя циркуль и линейку. Построение разности двух отрезков и их суммы не вызывает труда. Из одной и той же точки откладывают длины двух отрезков по разные «стороны» от этой точки, чтобы получить сумму. И по одну сторону, чтобы получить разность.
Если мы можем складывать и вычитать, можем ли найти произведение?
На выбранной прямой отложим последовательно единичный отрезок OA, отрезок AB длины n и отрезок BC длины m
Теперь проведем прямую через точку A, пересекающую другую сторону угла в точке P. Проведем параллельную ей, пусть она пересекает другую сторону угла в точке Q.

Теперь проведем прямую через точки P и B. Если построить прямую параллельную PB, то она пересечет начальную прямую в точке D, и отрезок OD, будет равен m ∙ n
Можем и сейчас разберем как.
Для начала докажем вспомогательную теорему.

У нас есть ∠ POC, пересеченный двумя параллельными прямыми PA и QB. Cоответственные углы при параллельных прямых равны, значит треугольники POA и QAB подобны по двум углам. Значит, по определению подобия:
или иначе OP  OB = OQ  OA. Но OA = 1, поэтому OP ∙ OB = OQ
Аналогично для параллельных прямых PC и QD:
Подставим прошлое равенство
OPOD = OPOB ∙ OC.
OP сокращается и получается, длина отрезка OD равна произведению OB и OC
На самом деле вышеуказанная теорема используется часто, а потому закрепила за собой название «Теорема о пропорциональных отрезках»
Убедимся, что это построение корректное
3. Точка Ферма
1–2 основных метода и правильно подобранные факты сокращают доказательства в разы. В доказательстве построения точки Ферма ключевой ход — поворот на 60°. Поворот сохраняет все измерения исходной фигуры, ведь мы меняем только его местоположение в том же пространстве, сохраняя размеры.
Обратите внимание: поскольку треугольник BFF' равносторонний, а сторона FF' лежит на прямой АС', то отсюда следует, что угол AFB равен 120 градусам.
Точка Ферма – точка с минимальным расстоянием до каждой вершины данного треугольника.
Нам дан Δ ABC, наибольший угол которого 120°. Требуется найти такую точку F внутри, чтобы сумма длин , и была минимальна.
Пусть F - произвольная точка. Соединим ее с вершинами Δ ABC
1
Повернем Δ BFC вокруг точки B против часовой стрелки на 60°
Поворот сохраняет все расстояния и углы, поэтому:
  1. BF = BF'

  2. F'BF = 60°
⇒ Δ BFF' — равносторонний
По тем же соображениям
  1. BC = BC'

  2. C'BC = 60°
⇒ Δ BCC' — равносторонний
2
3
Используя те же рассуждения, получаем, что точка F должна принадлежать прямой BA' и CB', откуда следует, что прямые AC', BA' и CB' пересекаются в одной точке, |AC'| = |BA'| = |CB'| и углы AFB = BFC = CFA = 120 градусов.

Точка пересечения прямых, соединяющих вершины равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника АВС, с его вершинами, есть точка Ферма.
Ещё раз:

BF = FF' , CF = F'C'

Следовательно, AF + BF + CF = AF + FF' + F'C

и эта сумма расстояний будет минимальной, если точки F и F' будут лежать на прямой АС'

Значит, точка Ферма принадлежит прямой АС'.
Из соображений симметрии построения, аналогичные приведенным выше, можно выполнить и для Δ АFB и Δ СFA
4
5