Теория категорий. Введение

«Our subject could be described as learning
how to live without elements, using arrows instead*»

Неформально, категория есть совокупность объектов, соединенных стрелками. Например, вот так:

Теорию категорий в первом приближении можно рассматривать, как основание математики, альтернативное теории множеств. Или как язык, на котором любой объект описывается не с точки зрения его внутреннего устройства, а с точки зрения того множества отношений, в которых он находится с другими объектами, или в которые он способен вступить.

Формальное определение

Для каждой пары морфизмов ƒ и g таких, что назначение ƒ совпадает с источником g, определена композиция h = g ° ƒ, удовлетворяющая аксиоме ассоциативности (ƒ ° g) ° h = ƒ ° (g ° h):

: Х → Х,

Класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой.

1. класса* объектов Х, Y... (Ob C )

2. для каждой пары объектов X, Y ∈  Ob C задано множество морфизмов, или стрелок (Hom- (X,Y)) вида ƒ: X → Y. Объект Х называют источником, а объект Y — назначением морфизма.

действующий

тривиально, т. е. для любой стрелки

° g = g

2. для любого исходящего морфизма g: X → имеет место равенство: 1

= ƒ

1. для любого входящего морфизма ƒ: → X имеет место равенство: ƒ ° 1

x + 1

x, y

010100