Для каждой пары морфизмов ƒ и g таких, что назначение ƒ совпадает с источником g, определена композиция h = g ° ƒ, удовлетворяющая аксиоме ассоциативности (ƒ ° g) ° h = ƒ ° (g ° h):
Класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой.
1. класса* объектов Х, Y... (Ob C )
2. для каждой пары объектов X, Y ∈ Ob C задано множество морфизмов, или стрелок (Hom- (X,Y)) вида ƒ: X → Y. Объект Х называют источником, а объект Y — назначением морфизма.
Для каждого объекта Х задан тождественный морфизм
тривиально, т. е. для любой стрелки
2. для любого исходящего морфизма g: X → имеет место равенство: 1
1. для любого входящего морфизма ƒ: → X имеет место равенство: ƒ ° 1