Материалы по подписке
Первые примеры
категорий
В этой категории всего один объект и всего один морфизм: назовем их, соответственно, «точка» и «стрелка».
Категория 1
Заметим, что «точка» и «стрелка» могут быть в буквальном смысле чем-угодно: «точкой» может быть какое-то число или множество, и тогда «стрелкой» будет тождественная функция на нем (например, число 0 и функция, переводящая 0 в 0). Но «точка» может быть и некоторым высказыванием А, а морфизмом – тавтология «если А, то А».
«Точка» может представлять собой фигуру, предмет, мысль и т. д. И то же самое – со «стрелкой»: как только они выбраны и определены источник морфизма, его назначение, тождественный морфизм. и закон композиции, мы получаем структуру, удовлетворяющую аксиомам категории. Поэтому можно сказать, что «реально» существует только одна категория с одним объектом и одной стрелкой.
Эта категория имеет два объекта и три морфизма.
Категория 2
Объектам можно присвоить имена 0 и 1, а в качестве морфизмов взять упорядоченные пары < 0, 0 >, < 0, 1 >, и < 1, 1 >.
В словарной статье, посвященной понятию группы, мы уже приводили пример множества целых чисел в качестве примера группы, содержащей бесконечное число элементов
Статья «Группа (алгебраическая структура)»
Предыдущий пример, возможно, наведет кого-то на мысль, что как категорию можно рассматривать не только множество целых чисел, но и любую группу вообще.
Категория G
Другими словами, каждая группа действительно есть группа каких-то пробразований, или действий.
Этот результат в теории групп называется теоремой Кэли, которому в теории категорий соответствует его далеко идущее обобщение – лемма Йонеды. С категорной точки зрения, теорема Кэли – всего лишь частный случай этой леммы для категории, состоящей их одного объекта.
Подробно см. Егорычев И. Язык теории категорий и «границы мира».
Есть и более абстрактно задаваемые категории – такая например, как категория Set, то есть категория, объектами которой являются вообще все множества, а стрелками – все возможные теоретико-множественные функции.
Категория Set
Есть также категория векторных пространств Vect, объекты в которой – векторные пространства, а стрелки – линейные преобразования векторных пространств.
Категория Vect
Мы уже упоминали о ней в нашем лонгриде, посвященном йоге матриц линейных и аффинных преобразований и кватернионов.
Компактный курс «Элементы линейной алгебры, или йога матриц и кватернионов»
В зависимости от того, какая конкретно категория рассматривается, в ней, помимо немногих общих свойств, по умолчанию присущих любой категории, встречаются и свои особенности – особые типы объектов и стрелок.
Существуют и специального вида объекты, наличие которых в той или иной категории что-то нам дополнительно о ней сообщает.
Несколько самых распространенных типов таких объектов и стрелок мы сейчас рассмотрим более подробно.
Важно только помнить, что изначально мы работаем в таком языке, где нас интересуют внешние отношения, а не внутреннее устройство чего-либо. Поэтому все определения любых свойств и отношений объектов и стрелок должны будут даваться исключительно в терминах каких-то других, уже известных отношений.
Можно сказать, просто, что если у нас есть монострелка, то указанное тождество сократимо слева.
И точно так же определяется эпиморфная стрелка, или эпиморфизм – категорный аналог функции «на все множество», т. е. такой, у которой у каждого элемента из области значений имеется прообраз.
Или, если у нас есть эпистрелка, то мы можем на нее сокращать справа.
Вывод
В заключение заметим, что изоморфная стрелка является одновременно и эпи- и мономорфизмом.
Cправочный материал
Статья «Автоморфизм»
Статья «Теория категорий»
Cправочный материал
Статья «Автоморфизм»
Статья «Теория категорий»
Понравилась статья?