Йога комплексных и гиперкомплексных чисел (кватернионов)

Часть III

2. Комплексное умножение как преобразование пространства

1. Конец йоги матриц: геометрия комплексных чисел

3. Кватернионное сопряжение как преобразование пространства

Йога комплексных и гиперк-омплексных чисел (кватернионов)

2. Комплексное умножение как преобразование

пространства

пространства

3. Кватернионное сопряжение как преобразование

Вступайте в наше сообщество в телеграмме, чтобы обмениваться знаниями с другими читателями лонгрида.

Конец йоги матриц.

I.

Но где реальность и где уравнения – пускай даже и квадратные?

Появление комплексных чисел традиционно и не без причин связывают с попытками решения кубических уравнений. Хотя они возникают уже и при решении квадратных уравнений.

И тем не менее: потерпите, реальность скоро появится…

Геометрия комплексных чисел

Есть письменные свидетельства того, насколько реальны были страдания первопроходцев, осмелившихся довести до конца казавшиеся на тот момент совершенно бессмысленными «вычисления».

Конец йоги

матриц.

Джероламо Кардано в своей «Ars Magna» (1545) решает следующую задачу: разделить величину в 10 единиц на две части таким образом, чтобы произведение частей равнялось 40.

Превозмогая, по его собственным словам, интеллектуальные мучения, он получает два «невозможных» корня:

и

Которые, тем не менее, проходят формальную проверку:

.

Затем некто Рафаэль Бомбелли проделывает примерно то же самое – только уже в своей собственной книге «Алгебра» (1572).

Применяя к уравнению

«неработающую» в данном случае формулу того же Кардано, он отваживается, тем не менее, преобразовать получающееся с ее помощью выражение во что-то осмысленное.

По формуле выходил абсурд:

Ну, или

,

что немногим лучше – и это несмотря на то, что решение x = 4 бросалось в глаза без всякой формулы.

«неработающую»

в данном случае формулу того же Кардано, он отваживается, тем не менее, преобразовать получающееся с ее помощью выражение во что-то осмысленное.

И вот Бомбелли делает похожий шаг – как и Кардано, он начинает работать с этими конструкциями, как бы не замечая их очевидной нелепости.

А замечает он, напротив, что

можно представить в виде куба суммы:

А

– можно представить в виде куба разности:

Видите ли вы, почему это действительно так?

И, значит:

– можно представить

в виде куба разности:

А замечает он, напротив,

что

можно

представить в виде куба суммы:

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

Так впервые было замечено, что «воображаемые величины» вроде

или

можно использовать

для получения величин вполне себе реальных (real numbers), и это было только начало....

Заметка

Даже вынося за скобки реальный психологический дискомфорт, который испытывали поначалу и сами математики при работе с квадратными корнями из отрицательных величин, мы видим, что мнимые величины стали приносить реальную пользу – которая, правда, все еще находилась внутри самой математики. Хоть это не так уж и мало. Посудите сами, перед исследователями открылась некая область, в которую можно зайти, что-то там такое поделать по вполне строгим, хоть и не до конца объяснимым правилам – и вернуться обратно с достоверным и, что самое главное, реальным результатом!

Приведем еще один пример – на этот раз из теории чисел.

То есть, чисел даже не вещественных (reals), а целых (integers) – а что может быть реальнее целых чисел? Разве что натуральные..

Кто-то из классиков (то ли Ферма, то ли Гаусс, то ли Эйлер) однажды задался вопросом: в каком случае простое число р представимо в виде суммы квадратов двух чисел?

Ответ на этот вопрос известен сейчас как теорема Ферма-Гаусса-Эйлера (оказалось, что в таком виде представляются только простые числа, дающие в остатке от деления на 4 единицу), доказательство ее довольно непросто, и обсуждать его мы не станем – скажем лишь, что один из возможных путей к нему также лежит через комплексные числа.

А вот как с помощью комплексных чисел доказать гораздо более простое, но тоже далеко неочевидное утверждение, мы продемонстрируем прямо сейчас. Ну, или почти сейчас.

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

Вначале все-таки дадим, наконец, определение множества комплексных

чисел

:

То есть, в каком-то смысле можно сказать, что это векторное пространство

Все дело тут, как вы понимаете, в этой самой букве i, которой договорились обозначать значение квадратного корня из −1, и, соответственно, квадрат которой равен этой самой

Эту новую – полезную, но «бессмысленную» сущность стали называть мнимой единицей.

С ее участием все используемые нами ранее выражения приобретают более системный и аккуратный вид:

Остается, правда, один совершенно справедливый вопрос: ну а почему, собственно, множество таких причудливо устроенных элементов мы называем именно числами?

Ну, ответ мы дадим, как у нас уже повелось, чисто алгебраический – потому что их можно складывать как числа, вычитать как числа, умножать и делить как числа, и вообще обращаться с ними в точности как с числами.

С единственной, правда, оговоркой, которую мы сформулируем в виде вопроса к читателям:

можете ли вы сказать, в каком случае одно комплексное число больше другого комплексного числа?

Вопрос

Однозначного ответа на этот вопрос нет, поскольку на множестве комплексных чисел не возникает естественного порядка.

Собственно, все арифметические операции с комплексными числами определяются почти очевидным образом с учетом все того же единственного тождества

Если нам даны два комплексных числа

и

то:

Чуть дольше повозиться надо будет только с делением.

Тут обычно отыскивают обратный элемент по умножению, и затем делением на комплексное число z называют результат умножения

на обратное к нему число

Другими словами, нам надо научиться делить

единицу:

Число z = a − bi при этом называют числом, комплексно сопряженным к z.

Тот факт, что получившаяся конструкция

А величину

называют модулем z.

Оба объекта имеют весьма наглядную геометрическую интерпретацию, что мы и продемонстрируем ниже.

является числом требуемой формы и завершает доказательство того, что множество комплексных чисел является замкнутым относительно всех четырех арифметических операций, и, значит, как любят говорить алгебраисты – является полем.

А утверждение мы сейчас докажем вот какое: если какие-то два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то и их произведение является суммой двух квадратов.

Пусть нам даны числа

и

где

– целые числа.

Поскольку мы теперь позволяем себе залезть в «воображаемую» область, то сумма квадратов здесь раскладывается на множители!

Действительно,

Проверьте, мы с этим фактом уже столкнулись выше

И тогда

«Мнимые» сущности опять «чудесным образом» исчезли, оставив нас с суммой квадратов двух целых чисел.

Сумма, разность и произведение двух целых есть целое, не правда ли?

То есть мы занырнули в более удобную, хоть и необычную область, и вышли из нее с интересующим нас результатом в области обычной!

Стоит ли удивляться, что первым человеком, указавшим на то, как надо «правильно» понимать новые числа, снова оказался Гаусс. С его легкой руки мнимая единица, а с ней – и все мнимая ось расположились перпендикулярно к действительной числовой оси, и так у воображаемых чисел появилась вполне реальная, геометрическая интерпретация.

Гаусс прямо говорит о крайне неудачно выбранной терминологии в случае с комплексными числами: если бы мы сразу отождествляли числа с направлениями, – считает он – и мыслили бы положительные числа направленными вправо, отрицательные – влево, а воображаемые (мнимые) – в стороны (вверх и вниз), то вместо замешательства была бы полная ясность.

На рисунке мы видим очевидное сходство с евклидовой плоскостью, в которой базисными векторами

являются

и

, где входящие

в конструкцию комплексного числа z два действительных числа a и b – это просто его декартовы координаты в этом базисе.

Таким образом, в зависимости от поставленной задачи, мы можем смотреть на число z или как на вектор, или как на точку плоскости, являющуюся концом этого вектора.

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

То есть, в каком-то смысле можно сказать, что множество комплексных чисел – это двумерное векторное пространство, в котором каждый элемент есть линейная комбинация двух векторов базиса.

Однако важнейшим отличием комплексной плоскости от евклидовой является введенное на таких «векторах» умножение.

Хотя во всей своей полноте «геометрия умножения» комплексных чисел раскрывается, только когда мы вектор z начинаем рассматривать не только в декартовых, но и в полярных координатах – то есть определим его с помощью его длины и угла α, который данный вектор составляет с положительно направленной вещественной координатной осью.

Поэтому отождествлением множества комплексных чисел с множеством векторов или точек обычной плоскости дело отнюдь не ограничивается.

Помните, мы уже не раз говорили о том, что числа можно рассматривать как действия?

А точнее, как сдвиги числовой прямой вправо-влево или ее растяжения/сжатия?

Так вот эта аналогия в случае с комплексными числами начинает работать еще полнее: к сдвигам и растяжениям плоскости добавляются ее вращения!

Отождествление комплексного числа с поворотом и растяжением плоскости оказывается возможным благодаря тому, как на этом множестве определено умножение.

С длиной мы тоже уже встречались – она легко вычисляется по теореме Пифагора и представляет из себя ровно то, что мы выше назвали модулем |z|.

Угол α‎ же называют аргументом комплексного числа z, и тут следует отметить две вещи:

Аргумент комплексного числа используется в его так называемой

Из нашего рисунка видно, что числа a и b – это проекции вектора z на соответствующие координатные оси, и поэтому a = |z| Cos α‎ и b = |z| Sin α‎

Поэтому z = a + ib = |z| Cos α + i |z| Sin α = |z| ( Cos α + iSin α )

тригонометрической форме записи, в которой как раз и реализуются оба параметра, необходимые для задания точки или вектора в полярных координатах.

Глубину этой формы записи трудно переоценить – пока же просто запомним ее.

Обратите внимание на то, что tg α‎ =

То есть компонентами a и b аргумент числа z = a + ib определяется однозначно. Это тождество нам тоже очень скоро пригодится.

Аргумент комплексного числа используется

в его так называемой тригонометрической форме записи, в которой как раз и реализуются оба параметра, необходимые для задания точки или вектора в полярных координатах.

z = a + ib = |z| Cos α + i |z| Sin α = |z| ( Cos α + iSin α )

Поэтому

Аргумент комплексного

z = a + ib = |z| Cos α + i |z| Sin α =
= |z| ( Cos α + iSin α )

Обратите внимание на то,

что tg α‎ =

Вступайте в наше сообщество в телеграмме, чтобы обмениваться знаниями с другими читателями лонгрида.

Комплексное умножение

II.

Начнём с самого простого – с умножения произвольного комплексного числа z = a + bi на единицу вещественную и на единицу мнимую:

Итак, теперь у нас все готово, чтобы внимательнейшим образом проанализировать то, что будет происходить с плоскостью как множеством точек, на котором введено комплексное умножение.

как преобразование пространства

Комплексное

умножение

как

преобразование пространства

будем смотреть на комплексное число как на приказ единичному вектору, или точке с координатами (1, 0) перейти в вектор z, или точку с координатами (a, b).

На этом элементарном примере мы уже можем вовсю применить геометрический взгляд на комплексное умножение:

Но что означает такой переход как не растяжение плоскости

раз

в

с одновременным поворотом ее на угол, тангенс которого

равен

?

Очевидно, что так оно и есть.

Рассмотрим чуть внимательнее, что тут происходит:

i⋅ z = i (a + bi) = −b + ai

, у которого

, то есть число z перешло в число

вещественная и мнимая части поменялись местами, к тому же мнимая часть перешла в вещественную с противоположным знаком.

Это значит, что если тангенс угла, который z составлял с вещественной

, то у

он стал равен

осью, был равен

у которого вещественная и мнимая части поменялись местами, к тому же мнимая часть перешла в вещественную с противоположным знаком.

,

Это значит, что если тангенс угла, который z составлял

с вещественной осью, был равен

, то есть число z перешло

в число

, у которого вещественная и мнимая

части поменялись местами, к тому же мнимая часть перешла в вещественную с противоположным знаком.

, то есть

число z перешло в число

Может быть, кто-то из вас помнит из 8-го или 9-го класса школы такую штуку как признак перпендикулярности прямых: так вот это он самый и есть!

Потому что две прямые, заданные уравнениями

и

перпендикулярны в том, и только в том случае,

если

перпендикулярны в том,

и только в том случае, если

Тем, кто этот признак забыл или никогда и не знал, мы настоятельно рекомендуем самостоятельно убедиться в его справедливости прямо сейчас.

Заметка

Это небольшое упражнение важно сразу в нескольких смыслах.

Во-первых, оно заставляет нас быть внимательными и строгими в специфически математическом смысле: наверное, большинство из нас помнят, что функция y = kx действительно задает прямую на плоскости, проходящую через начало координат.

Другими словами, правда ли, что ВСЕ точки прямой, проходящей через начало координат, это точки графика функции y = kx, и наоборот – правда ли, что ВСЕ точки графика y = kx, лежат на прямой, проходящей через начало координат?

Но многие ли из вас осознают, что это не одно, а два утверждения, каждое из которых, вообще говоря, не является очевидным?

Осознаете ли вы, что это два разных вопроса, каждый из которых требует отдельного обоснования?

Сейчас мы ответим на оба:

Проведем через точки О (0, 0) и М (1, k), являющиеся точками графика функции y = kx, прямую l и отметим на ней произвольную точку N с координатами

Поскольку точку на прямой l мы выбрали произвольно, то любая точка прямой есть точка графика.

Из точек М и N опустим перпендикуляры на ось Х:

прямоугольные треугольники

и

подобны,

следовательно

и, значит, точка прямой

есть точка графика y = kx.

?

(подробно о признаках подобия и основаниях геометрии см.)

Обратно, пускай существует какая-то точка

графика, не лежащая на прямой l.

Но тогда на прямой будет лежать еще одна точка с той же абсциссой, которая (по доказанному выше) тоже принадлежит графику функции y = kx.

Это противоречит определению функции, в соответствии с которым каждому х соответствует единственный у.

?

Следовательно, любая точка графика действительно лежит на прямой l.

графика, не лежащая

на прямой l.

графика,

не лежащая на прямой l.

Это противоречит определению функции, в соответствии с которым каждому х соответствует единственный у.

Обратно, пускай существует какая-то

точка

Ну а теперь разберемся с перпендикулярностью прямых.

Утверждается, что две прямые, заданные уравнениями

и

перпендикулярны в том, и только в том случае,

если

Ну а теперь разберемся с перпендикуляр-ностью прямых.

Как и в предыдущем случае нам надо доказать два независимых утверждения:

если прямые

и

теперь мы можем смело так писать

перпендикулярны,

то

если у прямых

и

коэффициенты находятся

в отношении

то такие прямые перпендикулярны.

Предположим, что прямые перпендикулярны.

Тогда угол

и

И наоборот, если

.

то

и, следовательно, прямые перпендикулярны.

В нашем же случае перпендикулярность векторов z и iz означает, что умножение на мнимую единицу в точности соответствует повороту плоскости на угол 90 градусов.

И это отлично согласуется с тождеством

которому теперь можно придать смысл двукратного умножения вещественной единицы на единицу мнимую:

i ⋅ i ⋅ 1 = −1,

или композиции двух последовательных поворотов

комплексной плоскости, по 90 градусов каждый, или одного разворота этой плоскости на 180 градусов.

или композиции двух

последовательных поворотов комплексной плоскости, по 90 градусов каждый, или одного разворота этой плоскости на 180 градусов.

Пускай теперь нам даны два произвольных комплексных числа z = a + bi и w = c + di .

И раз вектора z и iz ортогональны,

Тогда zw = z ⋅ (c+di ) = c ⋅ z + d ⋅ iz.

Но это значит, что комплексное число, равное произведению z и w, есть просто векторная сумма двух ортогональных векторов z и iz, взятых с коэффициентами c и d, соответственно!

который образует вектор zw с вещественной осью, равен

то

и значит, угол

,

Тогда zw = z ⋅ (c + di ) = = c ⋅ z + d ⋅ iz.

Число z, образующее как вектор с вещественной осью угол α, будучи умноженным на число w, оказалось повернутым на угол

Давайте вдумаемся, что это опять-таки означает, с точки зрения преобразования плоскости?

то есть на угол, являющийся аргументом w.

Таким образом, обобщая свойства

комплексного умножения,

мы с уверенностью можем сказать, что умножение комплексного числа z = a + bi на комплексное число

такой, что

w = c + di есть растяжение z в |w| раз и поворот его как вектора на угол

Нам осталось лишь проверить, что |zw| = |z||w|, чтобы нами была полностью доказана следующая ключевая для всего данного курса

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

При умножении двух комплексных чисел z и w их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Теорема

По определению, модуля комплексного числа z = a + bi

Покажем, что модуль произведения равен произведению модулей |zw| = |z||w|

квадрат модуля

Следовательно,

C другой стороны,

Q.E.D.

«Чудесным образом» повороты

Домашнее задание

Но поскольку, как было показано ранее, любому линейному преобразованию пространства соответствует матрица этого преобразования, то такая матрица должна соответствовать и каждому комплексному числу.

Как выглядит эта матрица?

Вопрос

и растяжения плоскости оказалось возможным выполнять без матриц – пользуясь лишь геометрическими свойствами умножения комплексных чисел.

Как вы думаете, что из себя представляет множество всех таких комплесных чисел, модуль которых равен 1, с точки зрения на них как на команды по преобразованию плоскости?

Вопрос

Используя соображения предыдущего пункта и утверждение Главной Теоремы, получить тригонометрические тождества для синуса и косинуса двойного и тройного угла.

Вступайте в наше сообщество в телеграмме, чтобы обмениваться знаниями с другими читателями лонгрида.

Кватернионное сопряжение

III.

Помните, когда мы обсуждали аффинное пространство, мы говорили, что в нем бессмысленно складывать точки, но осмысленно их вычитать?

как преобразование пространства

Илья Егорычев –
эксперт журнал Соулматс

Кватернионное

сопряжение как преобразование пространства

сопряжение как преобразование

пространства

Кватернион-

ное

сопряжение

как преобра-
зование пространства

Одной из аксиом аффинного пространства А, в частности, была такая:

1. Для любой точки

и для любого вектора

существует единственная точка

такая, что b − a = v.

Но, взгляните: ведь вычитание точек – это в то же время и прибавление к точке вектора:

Такое применение вектора к точке оказалось возможным, поскольку вектор по сути – это информация об относительном положении точки относительно любой другой точки.

Можно сказать, что вектор концептуализирует отношение между двумя точками в пространстве.

Идея же Гамильтона состояла в том, чтобы математически концептуализировать отношение между векторами в обычном трехмерном пространстве, также как обычный вектор концептуализирует отношение в пространстве между точками.

Ну, или по-другому:

он искал такую систему чисел, с помощью которых можно было бы преобразовывать пространства больших размерностей так же, как мы ранее с помощью чисел комплексных растягивали и вращали плоскость.

Здесь нужно сразу обратить внимание вот на что.

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

Если все множество комплексных чисел представляло собой некое двумерное «расширение» чисел действительных – мы даже пробовали смотреть на него как на двумерное векторное пространство над

,

на котором очень удачно было введено векторное умножение – то множество тех комплексных чисел, которыми задавались только вращения плоскости, представляли собой одномерный объект: это была единичная окружность на комплексной плоскости.

То есть, точно также, как множество сдвигов прямой само представляло из себя прямую, множество поворотов окружности образует окружность. Очевидно, что поворот окружности при этом тождественен повороту всей плоскости.

?

См. п.2 последнего домашнего задания.

нам потребуется два параметра для задания оси вращения, и еще один – для угла вращения.

так как, скажем, уже только вращения трехмерного пространства, которые, по аналогии с вращением плоскости, можно отождествить с вращениями двумерной сферы, требуют для своей реализации не двух, а трех параметров:

Соответственно, если мы захотим добавить сюда еще какие-то растяжения/сжатия, то придется добавлять еще один параметр.

И первое наблюдение, которое необходимо сделать – это то, что такая аналогия не сможет быть продолжена на три измерения

Все сказанное должно наводить на мысль о том (и именно так и рассуждал Гамильтон), что подходящую систему чисел придется строить как четырехмерное пополнение действительных или двумерное пополнение комплексных чисел.

Итак, поскольку вектор полностью определяется своей длиной и направлением, то он, как мы помним, может концептуализировать положение точки относительно другой точки.

Кватренион, как сущность, претендующая на аналогичную концептуализацию положения вектора относительно другого вектора, должен содержать в себе информацию об относительной длине и об относительном направлении, или ориентации.

Или, поскольку мы договорились рассматривать это множество точек как геометрический объект – прямую линию, то число можно рассматривать как приказ сдвинуть данный объект на соответствующее число делений вправо (если число положительное) или влево (если число отрицательное).

Дадим, наконец, формальное определение множества кватернионов:

где i, j, k – это три мнимые единицы, квадрат каждой из которых равен −1.

Точнее даже не так:

Вот как!

ij = k, jk = i, ki = j;

При этом, выполняются дополнительные тождества:

ik = −j, kj = −i, ji = −k.