Число e
(число Эйлера)
(число Эйлера)
Е
Определение
.
Фундаментальная математическая константа e = 2,7182818459.... — иррациональное, трансцендентное, вычислимое действительное число.
Иррациональность означает невозможность представления e в виде конечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Трансцендентность e — то, что оно не является алгебраическим числом, т. е. не может быть получено в виде корня многочлена с целыми коэффициентами.
Однако, число e (как и π) является вычислимым (computable number), то есть существует алгоритм его вычисления с любой степенью точности, что, вообще говоря, редкость для действительных чисел — большинство из них не являются вычислимыми.
Иррациональность означает невозможность представления e в виде конечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Трансцендентность e — то, что оно не является алгебраическим числом, т. е. не может быть получено в виде корня многочлена с целыми коэффициентами.
Однако, число e (как и π) является вычислимым (computable number), то есть существует алгоритм его вычисления с любой степенью точности, что, вообще говоря, редкость для действительных чисел — большинство из них не являются вычислимыми.
Впервые значение e было получено не Эйлером, а швейцарским математиком Якобом Бернулли при решении так называемой задачи о сложных процентах (compound interest): если банк примет от меня вклад на депозит под 100 процентов годовых, то через
год мой вклад удвоится. Однако, если условия выплаты процентов банком таковы, что проценты по вкладу можно начислять чаще одного раза в год, то при начислении процентов, скажем, один
раз в полгода мой вклад увеличится больше, чем в два раза. Действительно, банк должен будет начислить через полгода причитающиеся мне 50 процентов, и начислить в конце года еще
50 процентов на уже и так увеличившуюся в 1,5 раза сумму, т. е. общее увеличение составит
год мой вклад удвоится. Однако, если условия выплаты процентов банком таковы, что проценты по вкладу можно начислять чаще одного раза в год, то при начислении процентов, скажем, один
раз в полгода мой вклад увеличится больше, чем в два раза. Действительно, банк должен будет начислить через полгода причитающиеся мне 50 процентов, и начислить в конце года еще
50 процентов на уже и так увеличившуюся в 1,5 раза сумму, т. е. общее увеличение составит
В случае начисления процентов трижды в год увеличение составит еще больше:
Если разрешить дробить выплаты по процентам сколь-угодно
часто, то возникает, вообще говоря, числовая последовательность
в отношении которой не так уж и очевидно, будет ли она расти
с увеличением n бесконечно, или является ограниченной? И вот тот факт, что, несмотря на монотонный рост, при любом сколь-угодно большом n наша последовательность x никогда не достигнет 3, уже сам по себе крайне занимателен.
часто, то возникает, вообще говоря, числовая последовательность
в отношении которой не так уж и очевидно, будет ли она расти
с увеличением n бесконечно, или является ограниченной? И вот тот факт, что, несмотря на монотонный рост, при любом сколь-угодно большом n наша последовательность x никогда не достигнет 3, уже сам по себе крайне занимателен.
Если разрешить дробить выплаты по процентам сколь-угодно часто, то возникает, вообще говоря, числовая последовательность
в отношении которой не так уж и очевидно, будет ли она расти
с увеличением n бесконечно, или является ограниченной?
И вот тот факт, что, несмотря
на монотонный рост, при любом сколь-угодно большом n наша
последовательность X
никогда не достигнет 3, уже сам по себе крайне занимателен.
в отношении которой не так уж и очевидно, будет ли она расти
с увеличением n бесконечно, или является ограниченной?
И вот тот факт, что, несмотря
на монотонный рост, при любом сколь-угодно большом n наша
последовательность X
никогда не достигнет 3, уже сам по себе крайне занимателен.
—
Крайне любопытным является доказательство иррациональности числа e, впервые предложенное самим Эйлером — ему удалось найти способ представления e в виде бесконечной цепной дроби! Выглядит эта дробь невероятно изящно — не являясь, строго говоря, периодической, она, тем не менее, обнаруживает вполне выраженные закономерности:
Общеприятая форма сокращенной записи цепных дробей
Кто-то, возможно, слышал, что логарифм с основанием e,
по какой-то причине называют натуральным?
Какие могут в принципе существовать соображения,
чтобы называть такое основание натуральным, то есть
в каком-то смысле — естественным?
Поиски точного значения числа e, его различных
представлений и подчас совершенно неожиданных вхождений
в состав формул или функций, от которых меньше всего этого ожидаешь — самодостаточное, увлекательное исследование.
Мы же закончим нашу часть этого краткого введения
в Эйлерову константу, лишь самостоятельно удостоверившись
в ограниченности последовательности
по какой-то причине называют натуральным?
Какие могут в принципе существовать соображения,
чтобы называть такое основание натуральным, то есть
в каком-то смысле — естественным?
Поиски точного значения числа e, его различных
представлений и подчас совершенно неожиданных вхождений
в состав формул или функций, от которых меньше всего этого ожидаешь — самодостаточное, увлекательное исследование.
Мы же закончим нашу часть этого краткого введения
в Эйлерову константу, лишь самостоятельно удостоверившись
в ограниченности последовательности
Тогда
Разумеется, тут есть трюк — совсем небольшой, но все же —
мы расписываем все биномиальные коэффициенты
мы расписываем все биномиальные коэффициенты
заранее удобным нам способом, с тем чтобы было удобнее все скобки
в числителях разделить на n:
в числителях разделить на n:
Сразу же заметим, что при n > 1 все слагаемые здесь положительные, и число их растет, следовательно X
действительно образуют монотонно возрастающую последовательность
действительно образуют монотонно возрастающую последовательность
Все!
Возможно, надо еще раз напомнить, что «хвост»
есть не что иное, как геометрическая прогрессия, предел которой равен двойке — при всех же конечных n
